$5^{th}$ potencia de cualquier número entero es de la forma $11k$ o $11k +1$ o $11k -1$.

Question

$5^{th}$ potencia de cualquier número entero es de la forma $11k$ o $11k +1$ o $11k -1$.

Que el entero sea $x$. Si $x$ tiene un factor $11$, $x^5$ es de la forma $11k$. Ahora consideramos el caso donde $11 \not\mid x$.

Por el teorema de Fermat sabemos que $x^{10} \equiv 1(\mod 11)$. Así $11 \mid x^{10} -1$ $11 \mid (x^{5} -1)(x^5 +1)$. Ya que $11$ es primer, % o $11 \mid (x^{5} -1)$ $11 \mid (x^{5} +1)$. Así $x^5$ es de la forma $11k +1$ o $11k -1$.

¿Es correcta la prueba?

Answer 1

¡Qué bien! Sencillo y simple.

Answer 2

Aquí está una prueba alternativa (aunque encuentra la tuya mejor):

• $x\equiv 0\pmod{11}\implies x^5\equiv 0^5\equiv11\cdot 0 \equiv 0\pmod{11}$
• $x\equiv 1\pmod{11}\implies x^5\equiv 1^5\equiv11\cdot 0+1\equiv+1\pmod{11}$
• $x\equiv 2\pmod{11}\implies x^5\equiv 2^5\equiv11\cdot 3-1\equiv-1\pmod{11}$
• $x\equiv 3\pmod{11}\implies x^5\equiv 3^5\equiv11\cdot 22+1\equiv+1\pmod{11}$
• $x\equiv 4\pmod{11}\implies x^5\equiv 4^5\equiv11\cdot 93+1\equiv+1\pmod{11}$
• $x\equiv 5\pmod{11}\implies x^5\equiv 5^5\equiv11\cdot 284+1\equiv+1\pmod{11}$
• $x\equiv 6\pmod{11}\implies x^5\equiv 6^5\equiv11\cdot 707-1\equiv-1\pmod{11}$
• $x\equiv 7\pmod{11}\implies x^5\equiv 7^5\equiv11\cdot1528-1\equiv-1\pmod{11}$
• $x\equiv 8\pmod{11}\implies x^5\equiv 8^5\equiv11\cdot2979-1\equiv-1\pmod{11}$
• $x\equiv 9\pmod{11}\implies x^5\equiv 9^5\equiv11\cdot5368+1\equiv+1\pmod{11}$
• $x\equiv10\pmod{11}\implies x^5\equiv10^5\equiv11\cdot9091-1\equiv-1\pmod{11}$