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Question

Topé con esto en mi tarea y no conseguirlo, cualquier ayuda sería genial.

Encontrar el menor $n$ $\mathbb N$ tal que $2(n+5)^2 < n^3$ y llamarlo $n_0$. Mostrar que $2(n+5)^2 < n^3$ % todos $n \geq n_0$.

Answer 1

vemos que n = 7 es el número natural más pequeño que la afirmación es cierta.

Ahora intenta probar que $7n^2 \ge 2(n+5)^2$ % todo $n \ge 7$utilizando la teoría de expresiones cuadráticas.

Esto es suficiente como $n^3 \ge 7n^2$ $n \ge 7$

Answer 2

Sugerencia: $\frac{2(n+5)^2}{n^3} = \frac{2}{n} + \frac{20}{n^2} + \frac{50}{n^3}$ es una función decreciente de $n$ $n > 0$.

Answer 3

SUGERENCIA $\ $ a Continuación se presentan dos esbozado inductivo pruebas de que $\rm\ f(n)\ =\ n^3- 2\ (n+5)^2\: >\: 0\ $ $\rm\ n \ge 7\:.$

Prueba $\:1.$ $\rm\:\ \ f(n+1) - f(n)\ =\ (3\:n+8)\:(n-3)+3\: >\: 0\ $ para $\rm\: n \ge 3\:,\:$ $\rm\:f(n) < f(n+1)\:$ $\rm\:n\ge 3\:.\:$ por lo Tanto $\rm\ f(6) < 0 < f(7) < f(8) <\:\cdots\: < f(n)\ $ $\rm\:n \ge 7\:.$

Prueba $\:2.$ $\rm\ \ f(n)>0\ \Leftrightarrow\ 1 < g(n) = \dfrac{n^3}{2\:(n+5)^2}\:.\: $ $\rm\ g(6) < 1 < g(7)\ $ y $\rm\:g(n)\:$ es el aumento por

$$\rm \frac{g(n+1)}{g(n)}\ =\ \frac{(n+1)^3}{n^3}\: \frac{(n+5)^2}{(n+6)^2}\ =\ \frac{n+1}{n}\ \bigg(\frac{n^2+6\ n+5}{n^2+6\ n}\bigg)^2\ >\ 1\quad for\quad n > 0 $$

Esencialmente el $1$st prueba es aditivo telescopy, y el $2$nd por multiplicativo telescopy. Observe cómo telescopy ha reducido la inducción a un trivial de inducción. Es decir, la primera prueba de muestra que $\rm\:f(n) > 0$ debido a que se trata de una suma de términos $> 0\:,\:$ y la segunda prueba demuestra que $\rm\:g(n) > 1$ porque es un producto de términos $> 1\:.\:$ Ver el anterior relacionado puestos para más información sobre este punto de vista. El primer aditivo telescópica método es esencialmente el teorema fundamental de la diferencia de cálculo (cuya prueba - a diferencia del cálculo diferencial de la forma - es absolutamente trivial).

NOTA $\ $ No se ad-hoc métodos que son ligeramente más rápido que los métodos anteriores, por ejemplo,

$$\rm n \ge \:8 \ \Rightarrow\ n^3 \ge \ 8\:n^2 =\: 2\:(n+n)^2 > \:2\:(n+5)^2 $$

El punto de mencionar el anterior telescópica técnicas es que tienen valor pedagógico como técnicas generales para telescópica de la inducción y, por otra parte, que conducen a la efectiva algortihms para mucho más general de problemas, por ejemplo, la informática formas cerradas para sumas y productos.

Answer 4

Reescritura de $2(n+5)^2 < n^3$ $2(1+\frac{5}{n})^2 < n$, ahora se puede ver que $n>5$ el lado izquierdo es a lo más 8 así que usted sabe que la forma original no para obras $n=5$ y $n\geq8$. Prueba $n=6$ y $n=7$ y se realiza.