¿Qué es la analítica, la continuación de la de Riemann Zeta Función

Question

Me han dicho que en el cómputo de los ceros no se utilice la definición normal de la rieman zeta función, pero totalmente diferente a las que obedece la misma relación funcional. ¿Qué es esta otra función que se utiliza de forma explícita?

También si me fuera a tomar uno de estos ceros no triviales y conéctelo a la definición original sería mi respuesta tienden hacia cero como puedo evaluar la serie?

Answer 1

Si desea que la continuación analítica de la función zeta de la zona, donde todos los no-trivial de ceros se han encontrado hasta el momento, se puede hacer de la siguiente manera:

$$\begin{align*}(1)&\;\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}\\ (2)&\;\sum_{n=1}^\infty \frac2{(2n)^s}=\frac1{2^{s-1}}\zeta(s)\end{align*}\;\;\;\;\a la izquierda.\right\}\;\;\;\text{Re}\,(s)>1$$

Ahora, a restar (2) de (1):

$$\left(1-\frac1{2^{s-1}}\right)\zeta(s)=\frac1{1^s}-\frac1{2^s}+\frac1{3^s}-\ldots=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac1{n^s}=:\eta(s)\implies$$

$$\implies\;\zeta(s)=\left(1-2^{1-s}\right)^{-1}\eta(s)$$

Es un buen ejercicio ahora a probar el lado derecho es analítica en $\;1\neq\;\text{Re}\,(s)>0\,$ .

Nota que hay algunos posibles puntos problemáticos:

$$1-2^{s-1}=0\iff e^{(s-1)\log2}=1\iff (s-1)=\frac{2k\pi i}{\log2}\;,\;\;k\in\Bbb Z$$

Sin embargo, estos son extraíbles singularidades, así que no hay problema...

Answer 2

Hemos funcional de la ecuación $$ \zeta(s)=2^{s}\pi^{m-1}\sin\Bigl(\frac{\pi s}{2}\Bigr)\Gamma(1-s)\zeta(1-s). $$ Podemos probar esta usando curvas a nivel integral.
Usando esta fórmula, podemos ampliar Riemann Zeta Función a todo el plano complejo excepto $s\neq1$.

Para encontrar los ceros de Riemann Zeta Función, puede utilizar la conocida fórmula $$\left|Z(t)\right|=\left|\zeta(1/2+it)\right|$$ donde $$Z(t)=\zeta\left(1/2+it\right)\frac{\Gamma(1/4+it/2)\pi^{-1/4-it/2}}{\left|\Gamma(1/4+it/2)\pi^{-1/4-it/2}\right|}$$ real $t$.

Answer 3

Si por "de la definición normal de la Riemann zeta función de" te refieres $$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}$$ well, the thing about that series is that it doesn't converge for real part of $s$ less than or equal to $1$. En particular, no convergen en cualquiera de los ceros de la zeta-función, trivial o de otra manera.

Para entender cómo la zeta-función está definida para la parte real menor o igual a 1, usted tiene que estar familiarizado con la "continuación analítica." Está usted?