Digamos que yo considero que es el de Banach–Tarski paradoja inaceptable, lo que significa que más bien me gustaría hacer todos mis matemáticas sin usar el axioma de elección. Como mi fundación, me es de suponer que el uso de ZF ZF, además de otros axiomas, o un enfoque en el que los conjuntos no eran fundamentales.
Supongamos que todo lo que quiero es suficiente análisis para expresar todas las teorías existentes en la física. Es ZF suficiente? Si no, entonces hay ningún atractivo, utilitarios del sistema de la forma ZF+x, donde x representa algún otro axioma(s), que es suficiente, sin dejar de Banach-Tarski?
Wikipedia tiene una lista de afirmaciones que son equivalentes a elección: http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice#Equivalents El único que parece, obviamente, es relevante Blass el resultado que usted necesita elección para demostrar que todo espacio vectorial tiene una base. Pero si todo lo que me interesa es el vector de los espacios que en realidad iba a ser utilizado en la física (que, probablemente, nada más elegante que el espacio de funciones de $\mathbb{R}^m$ a $\mathbb{R}^n$), ¿importa esto? I. e., son los espacios para el que necesita elección para demostrar la existencia de una base demasiado patológicos de interés para un físico? En los casos de física de interés, parece que sería trivial para la construcción de una base de forma explícita.
Es Solovay del teorema de relevante? Estoy confundido sobre el papel desempeñado por la existencia de inaccesible cardenales.
Soy un físico, no un matemático, por lo que agradecería respuestas acamparon en el nivel de un diletante, no la de un profesional de la lgica.
[EDITAR] André Nicolas le pregunta: "[ ... ] ¿por qué debería de Banach-Tarski ser inaceptable?" Justo lo suficiente. Permítanme tratar de aclarar lo que yo tenía en mente. El número real de sistema contiene material que es físicamente sin sentido, pero (a) tengo una idea clara de cuáles de sus características se puede, no quiere decir nada físico (por ejemplo, la distinción entre racionales y irrationals), y (b) las matemáticas en $\mathbb{Q}$ sería mucho menos conveniente de hacer matemáticas en $\mathbb{R}$. Del mismo modo, yo prefiero pensar de mi $dy$s y $dx$'s como infinitesimals, y aunque son no físico, entiendo lo no físico sobre ellos, y son prácticos. Pero cuando se trata de la elección, no es obvio para mí cómo distinguir físicamente significativa consecuencias de física de sentido, y no es obvio que iba a perder ninguna comodidad por limitándome a ZF.
