¿Qué significa una "convención" en matemáticas?

Question

Todos sabemos que $0!=1$, el grado del polinomio cero es igual a $-\infty$, el intervalo $[a, a)= (a, a]= (a, a)= \emptyset$ ... y así sucesivamente, son convenciones en matemáticas. Entonces, ¿es una convención algo que no podemos demostrar con lógica matemática, o son solo intuiciones, o algo en lo que los matemáticos están de acuerdo? ¿Son lo mismo que los axiomas? ¿Qué significa "convención" en matemáticas? ¿Y $i^2 = -1$ es una convención? Si no lo es, ¿cómo podemos demostrar la existencia de dicho número?

Answer 1

Para responder la pregunta en el título, diría: 'convención' en matemáticas significa exactamente lo mismo que en inglés común.

En cuanto a tus ejemplos: $0!:=1$ y $[a,a):=\emptyset$ son definiciones. Es una convención no usar una definición diferente, o dejarla indefinida. Por supuesto, en este sentido, cada definición es una convención.

Creo que informalmente, uno dice que cierta definición (como las dos anteriores) es 'simplemente convención', para significar que son casos 'extremos' o 'degenerados', y dejarlos indefinidos todavía haría que la teoría funcione, pero es más conveniente definirlos de todos modos (por ejemplo, para evitar tener que excluir este caso extremo en la declaración de los teoremas). Por ejemplo, creo que se podría prescindir de definir $[a,a)$ o $[a,b]$ para $ba$, lo cual podría ser tedioso.

Answer 2

Una convención es una elección hecha porque es conveniente, o al menos, menos inconveniente que la(s) alternativa(s).

Como ejemplo de una definición de conveniencia, permítanme responder a su pregunta sobre $i$ (de comentarios y publicación original) de manera más explícita. En particular, podemos definir el plano complejo y la aritmética compleja de la siguiente manera: Sea $\Bbb C:=\Bbb R^2$ con suma por componentes, es decir, $$\langle a,b\rangle\oplus\langle c,d\rangle:=\langle a+c,b+d\rangle,$$ con "$+$" siendo la suma real, y con la multiplicación definida como $$\langle a,b\rangle\odot\langle c,d\rangle:=\langle a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c\rangle,$$ con "$\cdot$" siendo multiplicación real y "$-$" siendo sustracción real.

Ahora, podemos demostrar que estas son operaciones bien definidas, y se verifica fácilmente que $\bigl\{\langle a,0\rangle:a\in\Bbb R\bigr\}$ bajo $\oplus$ y $\odot$ se comporta exactamente como $\Bbb R$ bajo $+$ y $\cdot$. Tratando $\Bbb C$ como un espacio vectorial real en dos dimensiones (que es, como insinué en mi comentario anterior), la base ordenada estándar para $\Bbb R^2$ es $\bigl\{\langle 1,0\rangle,\langle 0,1\rangle\bigr\}$. El primero actúa como identidad multiplicativa $\odot$ en todo $\Bbb C$, y vemos también que $\langle 0,1\rangle\odot\langle 0,1\rangle=\langle -1,0\rangle$. Identificando aquellos pares de $\Bbb C$ de la forma $\langle a,0\rangle$ con sus contrapartes reales $a$ y definiendo $$i:=\langle 0,1\rangle,$$ encontramos que cada número complejo puede ser expresado de manera única en la forma $x+iy$ (con $x,y\in\Bbb R$), y que $i^2=-1$. (Las otras propiedades de $\Bbb C también se pueden deducir, pero esa es otra historia).

Nótese, no demostramos que un número como $i$ "exista"...sencillamente definimos una estructura y especificamos un elemento de esa estructura, que resulta tener las propiedades que atribuimos a $i. Podríamos haber definido igualmente $$i:=\langle 0,-1\rangle,$$ sin perder ninguna de esas propiedades, y realmente solo elegimos la definición que hicimos porque coincide con la base ordenada estándar para $\Bbb R^2$.

Answer 3

$0^0=1$ en lugar de $0$ o el término más correcto indeterminado podría ser considerado una convención porque a menudo es mucho más útil llamar a eso el resultado.

* Digo "más correcto" porque se pueden definir funciones que, en un límite, $0^0$ tiene cualquier valor, aunque Wikipedia limita en cierto modo el caso no 1, y menciona el rango de opiniones sobre su 'valor' aquí.