Cómo encontrar un simétrica la matriz que transforma un elipsoide a otro?

Question

Dadas dos origen centrado elipsoides $E_0$$E_1$$\mathbb{R}^n$, me gustaría encontrar un DPS (simétrica positiva definida) la transformación de la matriz $M$ que transforma $E_0$ a $E_1$.

Vamos a decir $E_0$ $E_1$ son especificados por el SPD matrices que lleve a la unidad de la esfera de las respectivas elipsoide: $$ M_0 = R_0 D_0 {R_0}^{-1} \mathrm{\ tarda\ unidad\ esfera\ a\ }E_0\\ M_1 = R_1 D_1 {R_1}^{-1} \mathrm{\ tarda\ unidad\ esfera\ a\ }E_1 $$ donde cada una de las $R_i$ es una matriz de rotación y $D_i$ es positivo matriz diagonal cuya diagonal entradas son las respectivas elipsoide de las principales radios.

Luego, por supuesto, la matriz $M_1 {M_0}^{-1}$ tomará $E_0$$E_1$, pero no es en general una matriz simétrica (aunque cada $M_i$ es simétrica), por lo que no es una solución.

Tengo la fuerte sospecha de que hay un único SPD matriz que toma $E_0$$E_1$. ¿Cómo puede ser calculada?

Más generalmente, si $R$ es cualquier matriz de rotación, a continuación, $M_1 R {M_0}^{-1}$ tomará $E_0$$E_1$. De hecho, sospecho que las matrices que tome $E_0$ $E_1$son precisamente las matrices de este formulario. Así que tal vez la cuestión se reduce a "Dado SPD $M_0$, $M_1$, encontrar una rotación $R$ tal que $M_1 R {M_0}^{-1}$ es simétrico".

Esto proviene de una estadística de la pregunta: dada una nube de puntos en $\mathbb{R}^n$ y un objetivo de una matriz de covarianza, quiero encontrar a un DPS transformación tal que la transformación de la nube de puntos tiene el objetivo de covarianza. Intuitivamente, parece que lo que se necesita es un SPD de transformación que transforma la nube de puntos del elipsoide de error (que se encuentra tomando la raíz cuadrada de su matriz de covarianza) para el elipsoide de error del destino de la matriz de covarianza; así que por eso estoy haciendo esta pregunta. Sin embargo, incluso si he encontrado una transformación, no estoy seguro de que el transformado del punto de nube tendrá exactamente el deseado objetivo de covarianza; si resulta que no, le voy a pedir a una pregunta diferente para la estadística fundamental problema.

Answer 1

Denotar por $B$ la unidad de la esfera. Como $QB=B$ por cada real ortogonal de la matriz $Q$, si podemos resolver la ecuación $$PM_0Q=M_1\tag{1}$$ para algunos positiva definida $P$ y real ortogonal $Q$, $P$ tomará $E_0$$E_1$, debido a $PE_0=PM_0B=PM_0QB=M_1B=E_1$. Ahora, $(1)$ es equivalente a $(M_0^\top PM_0)Q=M_0^\top M_1$. Por lo tanto podemos realizar una descomposición polar $\tilde{P}Q$ $M_0^\top M_1$ y establezca $P=(M_0^\top)^{-1}\tilde{P}M_0^{-1}$.

Tenga en cuenta que nosotros no requerimos que $M_0$ $M_1$ es positiva definida en la anterior. Todo lo que necesitamos es que el $M_0$ es invertible.