En primer lugar, confío en que usted usa el correcto parcial fracción de descomposición:
$$\frac{8x^4+15x^3+16x^2+22x+4}{x(x+1)^2(x^2+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2} + \frac{Dx+E}{x^2+2}.$$
Esto lleva a
\begin{align*}
&8x^4 + 15x^3 + 16x^2 + 22x + 4\\
&\qquad = A(x+1)^2(x^2+2) + Bx(x+1)(x^2+2) + Cx(x^2+2) + (Dx+E)x(x+1)^2.
\end{align*}
Un útil "truco" es para evaluar a los ceros de los lineales de los factores para obtener algo de información; sospecho que se evalúan en $x=0$ conseguir $2A = 4$, de donde obtuvo $A=2$.
A continuación, puede evaluar en $x=-1$ conseguir $-3C = -9$, que es cómo usted consiguió $C=3$. Buena apariencia.
A continuación, se utiliza que para simplificar.
$$2(x^2+2x+1)(x^2+2) +3x(x^2+2) = 2x^4 + 7x^3 + 6x^2 + 14x + 4,$$
lo que resta de $8x^4 + 15x^3 + 16x^2 + 22x + 4$ le dio
$$6x^4 + 8x^3 + 10x^2 + 8x = Bx(x+1)(x^2+2) + (Dx+E)x(x+1)^2.$$
Hmmm... Que no es exactamente lo que usted tiene. ¿El uso correcto de la descomposición, o te olvidas de tener cuidado con que $(x+1)^2$?
De todos modos, aquí es donde usted va pegado porque está acostumbrado a ser capaz de resolver el parcial fracciones problemas utilizando sólo la evaluación truco. Pero cuando usted tiene irreductible cuadrática factores o competencias de los lineales de los factores (o peor, ambos), el truco no te todo el camino hasta allí.
Aquí, podemos factor $x$ de ambos lados para obtener
$$6x^3 + 8x^2 + 10x + 8 = B(x+1)(x^2+2) + (Dx+E)(x+1)^2.$$
(Se incluye $x$ desde ambos lados y cancelados; esa es la forma en que nos dejó de cuarto poder del cubo).
Edit.
Podemos factor $x+1$ desde ambos lados:
$$(x+1)(6x^2 + 2x + 8) = (x+1)(B(x^2+2) + (Dx+E)(x+1))$$
para obtener
$$6x^2 + 2x + 8 = B(x^2+2) + (Dx+E)(x+1).$$
Contrariamente a su demanda antes de que, ahora que ya tenía todos los términos, nosotros no simplemente a la conclusión de que $D=6$, debido a que hay dos términos cuadráticos: $Bx^2$$Dx^2$.
Sin embargo, puede evaluar en $x=-1$ conseguir $12 = 3B$ o $B=4$; a partir de esto deberás ir a
$$6x^2 + 2x + 8 = 4x^2 + 8 + (Dx+E)(x+1)$$
o
$$2x^2 + 2x = (Dx+E)(x+1).$$
Tomando nota de que el término constante de la derecha es $E$, e $0$ a la izquierda, consigue $E=0$. Esto le da
$$2x(x+1) = Dx(x+1)$$
que, la cancelación de $x(x+1)$ rendimientos $D=2$.
Alternativamente, de $2x^2+2x = (Dx+E)(x+1)$, podemos factorizar el lado izquierdo completo para obtener
$$2x(x+1) = (Dx+E)(x+1)$$
a partir de la cual nos pondremos $Dx+E = 2x$, lo $D=2$$E=0$.
Así que, en resumen, $A=2$, $B=4$, $C=3$, $D=2$, $E=0$.
