¿Existe una función continua $f : [0, 1] [0, 1]$ tal que la imagen previa $f^{1}(y)$ de cualquier punto $y \in [0, 1]$ ¿es incontable?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sí.
Una buena forma de verlo es tomar un Curva de Peano $c: [0,1] \to [0,1]^{2}$ (es decir, una suryección continua) y componerla con la proyección $p(x,y) = x$ . Entonces $f = p \circ c$ tendrá la propiedad deseada.
Añadido. Se trata de una construcción folclórica que ilustra lo alejada que puede estar una función continua de las gráficas que realmente podemos dibujar (o imaginar). Como menciona Jonas en los comentarios, esta construcción aparece en al menos dos hilos de MO, a saber aquí y aquí . No sé dónde apareció por primera vez este ejemplo, sospecho que puede encontrarse en la obra de Hausdorff Mengenlehre pero Peano o Hilbert pueden haberlo notado antes. Sin embargo, no lo mencionan en sus trabajos originales: Documento de Hilbert y Documento de Peano enlaces tomados de la página de Wikipedia sobre curvas de relleno .
