$\hom(V,W)$ es canónica isomorph a $\hom(W^*, V^*)$

Question

Introducción de Mi Semestre acaba de empezar y tenemos un nuevo Profesor de Álgebra Lineal II (sustitución de nuestro ex Profesor). Al parecer, estamos detrás de nuestro calendario y por lo tanto sólo teníamos una breve introducción (5 Minutos en el Pizarrón) sobre el Espacio Dual y canónica isomorphisms.

En el actual conjunto de problemas no es opcional (no es obligatorio y no acreditados) ejercicio que entiendo tan bueno como nada acerca de:

Problema: Vamos a $V$ $W$ ser finito dimensionales $\mathbb{K}$-Vectorspaces$^{1)}$. Mostrar que $\hom(V,W)$ es canónica isomorph a $\hom(W^*,V^*)$ y encontrar el isomorfismo canónico.

$^{1)}$ ($\mathbb{K}$ denota un campo aquí, supongo que en la literatura inglesa que escribe $\mathbb{F}$)

Sugerencia por parte de mi tutor): $$ \Phi: \hom(V,W) \longrightarrow \hom(W^*,V^*) \\ \Psi \longmapsto (\varphi \longmapsto \varphi\circ \Psi)$$ Mis problemas son enormes ahora:

• La literatura que me estoy leyendo hace un mal trabajo al explicar este tema
• La línea de la literatura me parece parece ser la manera más allá de mi nivel, por lo general, incluyen tensor de álgebra para resolver esto. Así que se me caen las matemáticas agujero del conejo de ver, En la "familiaridad" (o Cómo evitar que "va por el de Matemáticas Agujero del Conejo"?)
• No entiendo la Pista, yo no encuentro esa función antes, ni siquiera en el Análisis y no sé lo que está pasando. Sólo puedo suponer que se trata de una función que de alguna manera se completa un círculo.

En el lado positivo:

• Creo que para entender lo que es un isomorfismo canónico. Mi Profesor dijo que es un isomorfismo que no implican la realización de una elección para un base. En la función anterior no podemos tomar una decisión y por lo tanto sería un candidato para un isomorfismo canónico.

• Si yo entiendo que la función anterior, me gustaría simplemente tiene que demostrar que es inyectiva (trivial Kern) y surjective para completar la tarea. Por desgracia, como ahora, sólo hemos hecho tales cosas mediante una explícita de la Matriz y no una función.

• Yo conozco la definición de la Doble Espacio, usando también la Delta de Kronecker. (aunque yo no sé nada acerca de su significado y geométricas intrepreation, si es que hay alguna)

• La forma en que mi tutores vender este ejercicio se supone que debe de ser muy fácil, una vez que las definiciones son claras.

A-Hacer-Lista:

• Comprender la función, saber lo que está pasando.

• Demostrar que la función es surjective

• Demostrar que la función es inyectiva (trivial Kern)

Answer 1

De la OMI, la única parte difícil de este problema es envolver su cabeza en torno a la noción de una función con valores de la función. O peor aún, este problema es acerca de una función con valores de la función de los valores de la función de funciones.

Cuando empecé a aprender sobre estas cosas, me las arreglé por escrito, con una muy precisa de la sintaxis, por lo que pude ver exactamente de qué tipo de todo lo que es, y es exactamente lo sustituciones podía hacer, y me gustaría introducir variables para que yo pudiera trabajar pointwise tanto como sea posible.

En este caso, podemos introducir variables como

• $\Psi$ es una variable que denota un mapa de $V \to W$
• $\varphi$ es una variable que denota una funcional en $W$
• $v$ es una variable que denota un vector en $v$

y podemos hacer cosas como:

• $\Phi : \hom(V, W) \to \hom(W^*, V*)$
• $\Phi(\Psi) : W^* \to V^*$
• $\Phi(\Psi)(\varphi) \in V^*$
• $\Phi(\Psi)(\varphi)(v) \in \mathbf{K}$.

La definición citada es

$$ \Phi(\Psi)(\varphi)(v) := \varphi(\Psi(v)) $$

Una vez que estás acostumbrado a estas cosas, resulta que esta es "evidente", ya que el lado derecho es casi la única manera que usted puede combinar los tres símbolos $\varphi$, $\Psi$, y $v$ en la misma expresión, sin mezcla de otras cosas.

Ahora, por ejemplo, para mostrar que $\Phi$ es aditivo, debemos mostrar

$$ \Phi(\Psi + \Psi') = \Phi(\Psi) + \Phi(\Psi') $$

pero desde la igualdad y la adición de funciones se define pointwise, esta es la misma cosa como muestra de

$$ \Phi(\Psi + \Psi')(\varphi)(v) = \Phi(\Psi)(\varphi)(v) + \Phi(\Psi')(\varphi)(v) $$

que puede ser visto después de realizar la sustitución.

Una vez que usted se siente cómodo haciendo todo lo pointwise, usted puede comenzar a pensar en términos de las funciones propias... pero cada ahora y entonces aún me parece útil volver a este enfoque a las cosas cuando los problemas se complican.

Por supuesto, no se les preguntó a mostrar que $\Phi$ fue aditivo, pero lo es, y es una buena cosa para mostrar. Todo que usted podría querer demostrar que va en una manera similar.

Answer 2

$\hom(V,W)$ es canónicamente isomorfo a $V^*\otimes W$.

$\hom(W^*,V^*)$ es canónicamente isomorfo a $(W^*)^*\otimes (V^*)$ por la misma razón.

Finalmente, $W^{**}\otimes V^*$ es canónicamente isomorfo a $V^*\otimes W$.

EDIT: Dustan es correcto, no debería haber utilizado el tensor de álgebra para esto (se perdió la cita de parte de OP). Aquí el tensor de álgebra parte en la mano saludando modo intuitivo:

Cada elemento de a $H$ $\hom(V,W)$ puede ser considerado como una colección de $\dim W$ lineal funcionales en $V$. Si usted fija una base en la $V$ $W$ puede ver el $H$ como una matriz, con $i$-ésima fila que denota una funcional en $V$ correspondiente al coeficiente de la $i$-ésima coordenada en $W$. Dicha matriz haría una buena imagen intuitiva de lo que está pasando, a pesar de que uno debe tratar de reformular w/fuera de base para hacer las cosas canónica.

Hay una cosa que tenemos que saber acerca de la doble espacios: $W^{**}$ es canónicamente isomorfo a $W$. He aquí por qué: para cualquier par de $(v\in V,w\in V^*)$ tenemos el valor de $w(v)$ que linealmente depende tanto de $v$$w$. Por lo tanto, $v\in V$ puede ser considerado como funcional en $V^*$. Usted puede decir por la comparación de las dimensiones que dichas $v$ produciría todos los funcionales lineales en $V^*$.

Si fijamos la base del isomorfismo que se busca es entre los espacios de $\dim(V^*)\times \dim(W)$ matrices y $\dim(W^{**})\otimes dim(V^*)$ matrices, el cual es dado por la transposición porque $W^{**}=W$.

Answer 3

El isomorfismo es simplemente la transposición de...

Esto es tan fácil como vienen las cosas, de verdad :-)