Cómo mostrar la convolución de una $L^p$ función y un Schwartz función es una función Schwartz

Question

Tenemos el espacio de Schwartz $\mathcal{S}$ $C^\infty(\mathbb{R^n})$ funciones $h$ tal que $(1+|x|^m)|\partial^\alpha h(x)|$ es limitado para todos los $m \in \mathbb{N_0}$ y todos los multi-índices de $\alpha$. Se nos da una $f \in L^p$$1\leqslant p < \infty$$g \in \mathcal{S}$. Queremos mostrar que $f \star g \in \mathcal{S}$ donde $\star$ denota el operador de convolución.

Ya he demostrado que $f \star g \in C^\infty$ demostrando que $\partial^\alpha (f \star g) = f \star (\partial^\alpha g)$. Ahora tengo que demostrar que $(1+|x|^m)|\partial^\alpha(f \star g)(x) = (1+|x|^m)|f \star (\partial^\alpha g)(x)|$ está acotada. Desde $\mathcal{S}$ es cerrado bajo la diferenciación, es suficiente con considerar el $\alpha = 0$. Escribo $$ \int_{\mathbb{R}^n}f(y)g(x-y)(1+|x|^m)dy $$ y tratar de enlazar, pero no pueden parecer para que funcione. Podría alguien ayudarme a seguir adelante?

Answer 1

Esto no es cierto. Para un ejemplo tomemos $f(x) = (1+\|x\|)^{-\alpha}$. Si $p\alpha > n$,$f \in L^p(\mathbb{R}^n)$. Ahora tome un valor no negativo $\mathcal{C}^\infty$ golpee la función $g$ integral $1$, apoyado en $\|x\|\le 1$. A continuación, $g \in \mathcal{S}$ y es fácil mostrar que $|(f\star g)(x)| \ge (2+\|x\|)^{-\alpha}$, ya que la integral es un promedio de $f$ sobre la esfera de radio $1$ centrada en $x$. Esto implica $f\star g \notin \mathcal S$.

A grandes rasgos, convoluting con un Schwarz función no puede alterar radicalmente la decadencia en $\infty$, por lo que las mejores estimaciones que podemos esperar de aquellos suaves $L^p$ funciones.