caída de inyectabilidad de multivariable cambio de variables

Question

El cambio de las variables para multivariable de integración en el espacio Euclidiano es casi siempre indicado por un $C^1$ diffeomorphism $\phi$, dando la conocida ecuación (continua $f$, dicen)

$$\boxed{\int_{\phi(U)}f=\int_U(f\circ\phi)\cdot|\det D\phi|}$$

Por supuesto, este resultado por sí solo no es muy útil en la práctica debido a una diffeomorphism es generalmente difícil. El mejor cálculo avanzado y el análisis multivariable de textos explicar explícitamente cómo la hipótesis de que la $\phi$ es inyectiva con $\det D\phi\neq0$ puede estar relajado para manejar los problemas a lo largo de los conjuntos de medida cero-un resultado que es necesario para casi todas las aplicaciones prácticas del teorema, comenzando con coordenadas polares.

A pesar de que ofrece esta ligera generalización, muy pocos de los textos estándar del estado de que la situación puede ser mejorada aún más: hay un teorema análogo para arbitrario $C^1$ asignaciones $\phi$, no sólo los que están inyectiva en todas partes, excepto en un conjunto de medida cero. Simplemente nos cuenta de cuántas veces un punto en la imagen es golpeado por $\phi$, dando

$$\boxed{\int_{\phi(U)}f\cdot\,\text{card}(\phi^{-1})=\int_U(f\circ\phi)\cdot|\det D\phi|}$$

donde $\text{card}(\phi^{-1})$ medidas de la cardinalidad de a $\phi^{-1}(x)$.

Creo que este teorema es mucho más natural y satisfactoria que la primera, por muchas razones. Por un lado, se elimina una gran restricción, llevando el teorema más cerca del estándar de una variable de cambio de las variables para que inyectividad no es necesario (aunque, por supuesto, el de una variable teorema es realmente un teorema acerca de las formas diferenciales). Se hace hincapié en que un cierto grado de regularidad es lo importante aquí, no de inyectividad. Para otra cosa, no es un gran paso desde aquí a grado teoría suave de los mapas entre cerró los colectores o a la "fórmula del área" en la teoría geométrica de la medida. (De hecho, el factor de $\text{card}(\phi^{-1})$ es un caso especial de lo viejo referencias en la teoría geométrica de la medida denominada la "multiplicidad de función" o el "Banach indicatrix.") También se usa en multivariante probabilidad de anotar densidades de no inyectiva transformaciones de variables aleatorias. Y por último, es en el espíritu de los enfoques modernos de al menos el gesto en el caso más general posible resultado. La afirmación tradicional es en realidad un caso especial; de inyectividad sólo se convierte en esencial a la hora de definir la integral sobre un colector (en lugar de una parametrización del colector), que queremos ser independiente de la parametrización. Yo creo que la enseñanza más general, el resultado sería de gran aclarar estos asuntos, que son una fuente constante de confusión para los principiantes.

Sin embargo, muchos lo demás excelente análisis multivariable de los textos (Spivak, Rudin PMA y RCA, Folland, Loomis/Sternberg, Munkres, Duistermaat/Kolk, Burkill) no se menciona este resultado, incluso en los pases, por lo que puedo contar. He tenido que cazar para discusiones de él, y lo he encontrado aquí:

• Zorich, Análisis Matemático II (página 150, ejercicio 9, para la integral de Riemann)
• Kuttler, el Análisis Moderno (página 258, para la integral de Lebesgue)
• Csikós, la Geometría Diferencial (página 72, para la integral de Lebesgue)
• Ciarlet, Lineales y no Lineales de Análisis Funcional con Aplicaciones (página 34, para la integral de Lebesgue)
• Bogachev, Teoría de la Medida I (página 381, para la integral de Lebesgue)
• el Planeta de Matemáticas página en multivariable cambio de variables (Teorema 2)

También estoy seguro de que he visto en algunos multivariable probabilidad de libros, pero no recuerdo cual. Pero ninguno de estos es un libro de texto estándar, excepto tal vez para Zorich.

Mi pregunta: ¿hay referencias normalizadas con buenos debates de esta extensión de los más conocidos fue el resultado? Probabilidad referencias están bien, pero estoy especialmente curioso si me he perdido algún tratamiento definitivo en uno de los clásicos de análisis de textos.

(También siéntase libre de especular por qué tan pocos textos mencionan.)

Answer 1

La respuesta corta es: a la hora de diseñar un curso (y en la secuela, un libro de texto) usted tiene que cubrir una gran cantidad de material indispensable, como "Una función continua en un conjunto compacto es uniformemente continua". Pero también tienes que hacer cientos de mayor o menor decisiones sobre, por ejemplo, el orden de presentación, que "igualmente importante" temas a incluir, que los temas de sacrificio, o para "eliminar a los ejercicios", etc.

En relación con el cambio de las variables de la fórmula: Tenemos necesidad absoluta de esta fórmula para el cálculo de volúmenes, momentos de inercia, el contenido de calor, etc., de "geométricamente complicado", o más particularmente simétrica órganos de $B$. Para este fin, en esencia, inyectiva parametrización de $B$ es completamente suficiente. Por otro lado, la prueba de esta fórmula (incluso en el de vainilla variante) es bastante tiempo. Desgraciadamente su parte esencial, a saber, el sentido geométrico de la determinante, tiende a ser oscurecida por el trabajo necesario para efectivamente anular medida cero efectos. En una de las fuentes citadas anteriormente se afirma que la versión general de la fórmula (así como su prueba) incluye un caso especial de la Adrs del Teorema. El último es definitivamente fuera de los límites para un primer curso de análisis.

Es perdonable cuando nos dejamos y acaba de enseñar lo que el alumno es sin duda necesita para manejar estándar de argumentos y situaciones en la geometría diferencial, la física matemática, y similares. En mi propia práctica de matemáticas que he utilizado el de la vainilla de la variante de la fórmula de un millar de veces, pero la fórmula más general que involucra la "cubierta" número de tal vez cinco veces, por ejemplo, en un curso integral de la geometría. Tenga en cuenta que, si usted ha entendido la esencia de vainilla, la variante, la fórmula general es intuitivamente obvia para que usted pueda trabajar con él en la teoría de la probabilidad o de los sistemas dinámicos sin mucho ruido.