Los enlaces MO pregunta muestra que la respuesta es sí al $\mathfrak p$ es máxima, el punto clave en el que caso de que la finalización de $A$ a un máximo ideal es automáticamente local.
Si $\mathfrak p$ no es maximal, entonces, hay una natural mapa
$\hat{A}_{\hat{\mathfrak p}} \to \widehat{A_{\mathfrak p}}$.
De hecho, hay un mapa de $A \to A_{\mathfrak p}$, lo que induce un mapa de
$\mathfrak p$-ádico terminaciones
$\hat{A} \to \widehat{A_{\mathfrak p}},$
que a su vez induce un mapa
$\hat{A}_{\hat{\mathfrak p}} \to \widehat{A_{\mathfrak p}}.$
Pero este mapa no será un isomorfismo si $\mathfrak p$ no es maximal
(al menos si $A$ es Noetherian, por lo que las terminaciones son razonablemente
comportamiento).
Para ver por qué, consideremos como ejemplo el caso
al $A = \mathbb Z_p[x]$, e $\mathfrak p = (x)$.
A continuación, $A_{\mathfrak p} = \mathbb Q_p[x]_{(x)},$ $\widehat{A_{\mathfrak p}}
= \mathbb Q_p[[x]].$
Por otro lado, $\hat{A}_{\hat{\mathfrak p}} = \mathbb Z_p[[x]]_{(x)}$, que es una sub-anillo de $\mathbb Q_p[[x]]$. (E. g. un elemento de
$\mathbb Z_p[[x]]_{(x)}$ define una función de meromorphic en el $p$-ádico de disco
$1 > |x|$ con sólo un número finito de ceros y un número finito de polos, ninguno de
el último en $x = 0$; en particular, tiene un no-trivial de radio
de la convergencia en torno a $0$. Por otro lado, una de las funciones típicas en $\mathbb Q_p[[x]]$
no tiene no trivial radio de convergencia en torno a $0$.)
Esto ilustra el general phenomonon que al $\mathfrak p$ no es maximal,
de modo que $\hat{A}_{\hat{\mathfrak p}}$ es un auténtico no-trivial de localización,
sólo ciertos $\mathfrak p$-ádico existen límites en la localización
$\hat{A}_{\hat{\mathfrak p}}$, mientras que por la construcción
$\widehat{A_{\mathfrak p}}$ $\mathfrak p$- adically completa.
