Dado un número finito de conjuntos no vacíos $A_1,\ldots,A_k$, el Axioma de Elección es no necesario para mostrar que no son funciones de $f\colon\{1,\ldots,k\}\to\cup A_i$ tal que $f(i)\in A_i$ por cada $i$. Es decir, no hay necesidad de que el Axioma de Elección en el fin de seleccionar un elemento de formulario de un número finito de conjuntos no vacíos.
En particular, no es necesario el Axioma de Elección para demostrar que se puede elegir un número real (un solo juego).
Simplemente: desde $A_1$ es no vacío, no existe $a_1\in A_1$. Desde $A_2$ es no vacío, no existe $a_2\in A_2$. Asimismo, hemos $a_i\in A_i$, $i=3,\ldots, k$. Y podemos dejar que la $f=\{(i,a_i)\mid i=1,\ldots,k\}$ ser la función de Elección. Podemos escribir todo esto porque hay un número finito de $A_i$. Al parecer, hay sutiles no estándar de conjunto de la teoría de las cuestiones aquí (gracias a Carl Mummert para el puntero); en lugar de eso, digamos que para una familia de conjuntos no vacíos indexado por un número natural que no necesita el Axioma de Elección para obtener una función de elección, y esto puede ser demostrado por inducción sobre el conjunto de índices.
El fantasma de que el Axioma de Elección (por así decirlo) ni siquiera comenzar a sugerir a sí mismo hasta que usted tiene que hacer una infinidad de opciones. Incluso entonces, puede que no necesite.
Nota, sin embargo, que el uso de frases como "arbitraria número real" puede hacer que parezca que usted está hablando de algún tipo de distribución de probabilidad uniforme sobre todos los números reales que hace que todas las "selecciones" igualmente probables. Esto es una cosa completamente diferente por completo, pero no de lo que se habla aquí. Esta es, igualmente, el problema que surge cuando, en el contexto de la probabilidad, hablamos de "selección de un número entero aleatorio comprendido." El problema con "la selección de un entero aleatorio" es que usted no puede tener una uniforme distribución de probabilidad sobre los enteros: esto equivaldría a una medida en el poder conjunto de los enteros que se $\sigma$-aditivo, para que cada entero tiene la misma probabilidad, y para que $\mu(\mathbb{Z})=1$; no existe tal cosa, porque usted tendría que tener $\mu(n)=0$ para cada entero $n$, e $\sigma$-aditividad implicaría $\mu(\mathbb{Z}) = 0$ . Esto es lo que está detrás de la afirmación "no se puede" elegir un entero aleatorio" de cierto en ese contexto; pero esto es un obstáculo en la noción de "azar", no un conjunto teórico obstáculo. Del mismo modo, no puede haber ninguna distribución de probabilidad uniforme sobre todos los reales, debido a la homogeneidad implica que cada intervalo de $[n,n+1)$ $n\in\mathbb{Z}$ tienen la misma medida, y $\sigma$-aditividad junto con el hecho de que los reales limitados total de la medida implica que cada intervalo debe tener igual medida a $0$, y así los reales sería también han medición total $0$. De nuevo, esto es una probabilidad/medida de la teoría de obstáculo, no un Axioma de Elección.
