La única cerrado órbita en GIT cociente de fibras para el polinomio de acciones de Gl

Question

El siguiente razonamiento debe contener una falla en algún lugar porque termino con algo absurdo, y no puedo averiguar dónde está el error. Espero que alguien pueda punto para mí.

Deje $M$ ser el algebraicas monoid de $n\times n$-matrices y $G$ su grupo de la unidad, es decir, el subgrupo de invertir matrices. Deje $X$ $G$- variedad. Desde $G$ es reductiva, podemos considerar el cociente $\pi:X\to\newcommand{\qq}{\mathop{/\hspace{-2.5pt}/}}X\qq G$. Es bien conocido (véase, por ejemplo, la Proposición 27.5.3 en el libro de álgebras de Lie y algebraica de los grupos por Tauvel y Yu) que para $x\in X$, la fibra $\pi^{-1}(\pi(x))$ contiene un único cerrado órbita $O$ y $$\pi^{-1}(\pi(x)) = \{ y\in X \mid O\subseteq\overline{G.y} \}.$$

Ahora supongamos que la acción de la $G$ se extiende a una acción de $M$$X$. Por ejemplo, este es el caso cuando se $X$ $G$- módulo en el que $G$ actos exponencialmente. Entonces es fácil ver que para cualquier $x\in X,$ tenemos $G.x\subseteq M.x\subseteq \overline{G.x}$:

Deje $\alpha_x:M\to X$ ser la acción de morfismos $a\mapsto a.x$. Deje $U:=\alpha_x^{-1}(G.x)$. Ciertamente tenemos $G\subseteq U \subseteq M$. Como $G$ está abierto en $M$ $M$ es irreductible, $\overline{U}=M$. Además, $\alpha_x^{-1}(\overline{G.x})$ es un conjunto cerrado que contiene a $U$. Por lo tanto, debemos tener $M=\alpha_x^{-1}(\overline{G.x})$.

Ahora para cualquier $x\in X$, podemos considerar $y:=0.x$, es decir, la imagen de $x$ bajo la acción de la matriz cero. Por lo anterior, hemos $y\in\overline{G.x}$. Por otro lado, tenemos a $G.y=\{y\}$, lo $y$ es un cerrado $G$-órbita.

Ahora puedo pensar en muchos ejemplos donde $X$ es un espacio lineal y $0.x=0$ cualquier $x\in X$. En este caso, $0$ sería un cerrado $G$-órbita contenida en la órbita de cierre de cualquier punto, por lo $\pi^{-1}(\pi(0))=X$. En otras palabras, $X\qq G=\{\ast\}$.

Que es completamente absurdo. Donde está mi error?

Edit. Para aclarar lo que quiero decir por el cociente $X\qq G$, supongamos $X$ ser afín a lo largo. Entonces, yo defino $X\qq G:=\mathrm{Spec}(\Bbbk[X]^G)$ como el espectro del anillo de $G$-invariantes de la coordenada anillo de $X$. Hay un resultado esencial (por Hilbert, creo) que indica que $\Bbbk[X]^G$ es en realidad un finitely generadas $\Bbbk$-álgebra, por lo que esta es bien definido.

Answer 1

No hay ningún error. Si $X$ $G$ de representación que se extiende a una $M$ acción, con $0 \cdot x = 0$ cualquier $x \in X$,$k[X^G]=k$. Por ejemplo, supongamos $X$$\mathbb{A}^d$$G$$GL_1$, actuando por $t \cdot (x_1, x_2, \ldots, x_d) = (t x_1, t x_2, \ldots, t x_d)$. A continuación,$k[x_1, \ldots, x_d]^G = k$$X/G = \{ \ast \}$. La prueba es correcta.

Creo que el problema es que piensan que los puntos de $X/G$ a ser algo así como el $G$de las órbitas. Por ejemplo, tal vez usted está esperando para obtener $\mathbb{P}^{d-1}$ en el ejemplo anterior. Pero esto no es siempre cierto, y este es un buen ejemplo de ello. Con el fin de obtener los puntos de $X/G$ a ser algo así como el $G$de las órbitas, usted tiene que quitar el "inestable", apunta. En el ejemplo anterior, usted tiene que quitar el origen con el fin de obtener el cociente de a $\mathbb{P}^{d-1}$. Te sugiero leer sobre Geométricas Invariantes Teoría para más.