Demuestra que hay infinitos primos en $\mathbb{Z}[i]$

Question

Vi una prueba en línea de que hay infinitos primos en $\mathbb{Z}$ . El producto de Euler nos permite factorizar la serie armónica:

$$ \prod \left( 1 - \frac{1}{p} \right) = \sum \frac{1}{n}$$

Me pregunto si esto se extiende a $\mathbb{Z}[i]$ . Joan Báez Semana 216 de los hallazgos de esta semana define la función zeta del campo numérico como la suma sobre los ideales no nulos básicamente:

$$ \zeta_{\mathbb{Z}[i]}(s) = \sum \frac{1}{(m^2 + n^2)^s} = \prod_{p \in \mathbb{Z}[i]} \left( 1 - \frac{1}{|p|^s} \right) $$

Aquí $2 = (1+i)(1-i)$ significa que $2$ se ramifica en $\mathbb{Z}[i]$ . ¿Cuándo converge esto?

$$ \sum_{m, n \geq 1} \frac{1}{(m^2 + n^2)^s} \approx \frac{\pi}{4}\int \frac{ dr }{r^{2s-1}} < \infty$$

Esta función zeta converge para $s > 1$ ya que estamos añadiendo más números. Así que para $s = 1$

$$ \zeta_{\mathbb{Z}[i]}(1) = \sum \frac{1}{m^2 + n^2} = \prod_{p \in \mathbb{Z}[i]} \left( 1 - \frac{1}{|p|} \right) = \infty $$

También debemos comprobar que $\mathbb{Z}[i]$ tiene una factorización única, porque tiene un algoritmo euclidiano

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¿Acabamos de demostrar $\mathbb{Z}[i]$ tiene infinitos primos?

Si eso no funciona, demostramos que $\zeta(2)$ es irracional. De hecho $\zeta_{\mathbb{Z}}(2) = \frac{\pi^2}{6}$ pero ¿qué pasa con $\zeta_{\mathbb{Z}[i]}(2) $ ?

• ¿Diferentes formas de demostrar que hay infinitos primos?

• GCD de enteros gaussianos

Answer 1

Su prueba sí funciona (con algunas correcciones menores en su definición de $\zeta_{\mathbb Z[i]}$ ), y aunque no es la forma más fácil de demostrar que $\mathbb Z[i]$ tiene infinitos primos (ver la otra respuesta), la prueba funciona en un entorno mucho más general:

Teorema: Dejemos que $K$ sea un campo numérico y $\mathcal O_K$ sea su anillo de enteros. Entonces $\mathcal O_K$ tiene infinitos ideales primos.

La prueba es exactamente la misma que la de tu pregunta. Defina el Función zeta de Dedekind $$\zeta_K(s) = \sum_{0\ne\mathfrak a \subset \mathcal O_K}N\mathfrak a^{-s},$$ donde $s\in \mathbb C$ la suma es sobre los ideales no nulos de $\mathcal O_K$ y el norma de un ideal se define por $$N\mathfrak a = \#\mathcal O_K/\mathfrak a.$$

Equivalentemente, $$\zeta_K(s) =\sum_{n=1}^\infty a_nn^{-s}$$ donde $a_n=\#\{\mathfrak a \subset\mathcal O_K:N\mathfrak a =n\}$ . Cuando $K=\mathbb Q$ esto es sólo la función zeta de Riemann. Cuando $K = \mathbb Q(i)$ como en su pregunta, entonces tendremos $a_n = 0$ siempre que $n$ no puede escribirse como una suma de dos cuadrados. Sin embargo, por ejemplo, cuando $(x+yi)$ y $(x-yi)$ son ideales diferentes, tendremos $a_{x^2+y^2}\ge2$ por lo que esta función es ligeramente diferente a su $\zeta_{\mathbb Z[i]}$ .

Esta serie converge absolutamente en el semiplano $\mathrm{Re}(s)>1$ y tiene un polo simple en $s=1$ .

Ahora $\mathcal O_K$ puede no ser un UFD. Sin embargo, siempre será un Dominio Dedekind por lo que se dará el caso de que cada ideal se puede factorizar de forma única como un producto de ideales primos . De ello se deduce que podemos escribir $$\zeta_K(s) = \prod_{\mathfrak p\subset\mathcal O_K}(1-N\mathfrak p^{-s})^{-1}$$ donde el producto es sobre ideales primos, converge absolutamente para $\mathrm{Re}(s)>1$ y tiene un polo simple en $s=1$ . Su prueba se aplica ahora.

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Incluso es posible una mayor generalización. Por ejemplo, considerando el Caracteres de Dirichlet $$\chi:(\mathbb Z/m\mathbb Z)^\times\to\mathbb C^\times$$ y sus correspondientes Funciones L $$L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty\chi(n)n^{-s}=\prod_p(1-\chi(p)p^{-s})^{-1}$$ (y una cierta cantidad de trabajo duro), se puede probar Teorema de Dirichlet sobre los primos en las progresiones aritméticas que para cualquier $a$ con $(a,m) = 1$ hay infinitos primos $p$ con $p\equiv a \pmod m$ .

Se puede ir aún más lejos, y considerar lo que sería un análogo de este teorema para un campo numérico general. Uno se encuentra rápidamente jugando con algunas de las ideas de Teoría del campo de clases . Para una buena introducción a este enfoque, véase (especialmente el capítulo 2 de) Teoría del campo de clases por N. Childress .

Answer 2

SUGERENCIA:

Modifica ligeramente el argumento de Euclides tomando $q= 4 p_1\cdot \ldots \cdot p_n-1$ para demostrar que $q$ tiene un factor primo $\equiv -1 \mod 4$ que también es diferente de todos los $p_i$ 's. Por lo tanto, existen infinitos números primos de la forma $4 k-1$ . Estos también serán elementos principales en $\mathbb{Z}[i]$ ( ver Enteros gaussianos )