¿Existe una fórmula general para la matriz de transición de productos de polinomios simétricos elementales a funciones simétricas monomiales?

Question

Dados los polinomios simétricos elementales $e_k(X_1,X_2,...,X_N)$ generado a través de $$ \prod_{k=1}^{N} (t+X_k) = e_0t^N + e_1t^{N-1} + \cdots + e_N. $$ ¿Cómo se pueden obtener las funciones simétricas monomiales $m_\lambda(X_1,X_2,...,X_N)$ como productos y sumas en $e_k$ ? Por ejemplo: $N=4$ $$ m_{(2,1,1,0)}=X_1^2X_2X_3 + \text{all permutations}= e_3\cdot e_1 - 4 e_4 , $$ $$ m_{(2,2,0,0)}=X_1^2X_2^2 + ... = e_2^2-6e_4 - 2m_{(2,1,1,0)}=e_2^2 - 2e_3\cdot e_1 +2e_4 $$ Parece claro que los productos de la RHS recorren todas las particiones $\mu$ de $N$ . Para cada $\lambda$ debe haber un conjunto de enteros $C_{\lambda\mu}$ tal que $$ m_\lambda = \sum_\mu C_{\lambda \mu} \prod_j e_{\mu_j} $$ es cierto. Poniendo todos los valores de $c_{\lambda \mu}$ juntos, se obtiene la siguiente ecuación: $$ \left( \begin{matrix} m_{4,0,0,0}\\ m_{3,1,0,0}\\ m_{2,2,0,0}\\ m_{2,1,1,0}\\ m_{1,1,1,1}\\ \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} -4&+4&+2&-4&+1\\ +4&-1&-2&+1&0\\ +2&-2&+1&0&0\\ -4&+1&0&0&0\\ +1&0&0&0&0\\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} e_{4}\\ e_3e_1\\ e_2^2\\ e_2e_1^2\\ e_1^4\\ \end{matrix} \right) . $$ La matriz de transición $C_4$ es simétrica. Esto también es válido para $N=3$ , donde $C_3$ es $$ \left( \begin{matrix} +3&-3&+1\\ -3&+1&0\\ +1&0&0\\ \end{matrix} \right) $$ y para $N=2$ obtenemos $$ \left( \begin{matrix} -2&+1\\ +1&0\\ \end{matrix} \right). $$

La cuestión principal es si existe una fórmula general para las entradas de las matrices. Para un determinado $N$ es un tipo de composición de matrices $C_{k<N}$ y algunas otras matrices?

Además, lo siguiente también es de interés: Las matrices hasta ahora son simétricas y sus entradas suman $0$ . ¿Es esto cierto en general? ¿Está relacionado con los cuadros de Young (conjugados)?

Bolas y cajas Si llevamos la matriz al LHS obtenemos: $$ \left( \begin{matrix} 0 &0&0&0&1\\ 0&0&0&1&4\\ 0&0&1&2&6\\ 0&1&2&5&12\\ 1&4&6&12&24\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} m_{4,0,0,0}\\ m_{3,1,0,0}\\ m_{2,2,0,0}\\ m_{2,1,1,0}\\ m_{1,1,1,1}\\ \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} e_{4}\\ e_3e_1\\ e_2^2\\ e_2e_1^2\\ e_1^4\\ \end{matrix} \right)\tag{*} . $$

Quizá sea más fácil interpretar estos valores, ya que todos son positivos, en términos de bolas, que hay que meter en cajas, según las siguientes reglas :

Se le da $N$ bolas. Sus bolas están ahora divididas en partes (y bendito sea eso, este es un foro de matemáticas :-) según una partición $\mu$ . Estos son los productos de $e_k$ 's. Ahora se le pide que ponga las bolas partición por partición en un $N$ cajas. No se permite poner más de 1 bola en una casilla para la partición actual.

El objetivo es conseguir una determinada distribución de bolas entre las cajas, dada por $\lambda$ . Estos son los $m_\lambda$ .

Sumas de potencia ¿O ayudaría expresar $e_k$ como sumas de potencias mediante fórmulas de Newton-Girard? Aquí está el ejemplo trabajado:

$$ \left( \begin{matrix} m_{4,0,0,0}\\ m_{3,1,0,0}\\ m_{2,2,0,0}\\ m_{2,1,1,0}\\ m_{1,1,1,1}\\ \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1 &-1\\ 0& 0& 1/2& 0& -1/2\\ 0& 1/2& -1/2& -1& 1\\ 1/24& -1/4 &+1/8 &1/3 &-1/4\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} p_1^4\\ p_2p_1^2\\ p_2^2\\ p_3p_1\\ p_4^1\\ \end{matrix} \right) $$

Answer 1

Probablemente una simple fórmula general para su matriz $C_n=(C_{\lambda,\mu})_{\lambda,\mu\in\mathcal P_n}$ , donde $\mathcal P_n$ denota las particiones de $n$ (ordenado de forma lexicográfica decreciente) no existe. Sin embargo se pueden decir varias cosas, sobre todo se pueden confirmar tus conjeturas anteriores. Una cosa que sugieren tus ejemplos pero que es falsa es que la matriz es "triangular superior izquierda", lo que falla desde $n=6$ La razón es que la verdadera triangularidad viene dada por $ C_{\lambda,\mu}\neq0\implies \lambda^{tr}\leq\mu$ en el orden de dominio donde $\lambda^{tr}$ es la partición transpuesta (conjugada) de $\lambda$ y el orden lexicográfico para $n\geq6$ no asigna posiciones complementarias a $\lambda$ y $\lambda^{tr}$ (tampoco cualquier pedir para $n$ suficientemente grande).

Como has adivinado es más fácil estudiar la matriz inversa $C_n^{-1}=(M_{\lambda,\mu})_{\lambda,\mu\in\mathcal P_n}$ cuya entrada $M_{\lambda,\mu}$ da el coeficiente de $m_\mu$ sur $e_\lambda$ . Este número no negativo es igual al número de $0$ - $1$ matrices con sumas de filas $\lambda_1,\lambda_2,\ldots$ y las sumas de las columnas $\mu_1,\mu_2,\ldots$ y en particular $M$ es una matriz simétrica (Stanley EC2, Proposición 7.4.1, Corolario 7.4.2). El argumento para esta interpretación combinatoria es básicamente el de bolas dentro de cajas que has sugerido: cada término de $e_\lambda$ proviene de la elección de un monomio en cada factor $e_{\lambda_i}$ y esta elección puede representarse poniendo en la fila $i$ a $1$ (bola) en las columnas seleccionadas y ceros en el resto; el monomio producto se encuentra sumando las columnas (y por simetría sólo hay que considerar los monomios con exponentes débilmente decrecientes (sumas de columnas)). Como $M_n$ es simétrico y $C_n$ es su inversa, un argumento fácil muestra que $C_n$ también es simétrica.

Ha sugerido que la suma de todas las entradas de $C_n$ es $0$ . Esto falla para $n=0,1$ pero es cierto para todos los valores más grandes, lo que se puede ver de la siguiente manera. En la definición de $C_n$ , si se toman sus sumas de columna (equivalentemente, si se multiplica a la izquierda por $(1~1\cdots1)$ ), entonces se obtiene el coeficientes el $e_\mu$ sur $h_n=\sum_{\lambda\in\mathcal P_n}m_\lambda$ El $n$ -ésima función simétrica homogénea completa (suma de todos los monomios distintos de grado $n$ ). Uno quisiera saber la suma de esos coeficientes. Ahora la relación entre las funciones simétricas elementales y completas homogéneas está dada por la identidad de la serie generadora $$ (1-e_1X+e_2X^2-e_3X^3+\cdots)(1+h_1X+h_2X^2+\cdots)=1 $$ o de forma equivalente $\sum_{i=0}^n(-1)^ne_ih_{n-i}=0^n$ . Puede demostrar que la suma mencionada es $0$ para $n\geq2$ por inducción de esta última ecuación. Una forma más conceptual es utilizar la identidad de la serie generadora y la independencia algebraica independencia algebraica de la $e_i$ para $i\geq1$ lo que significa que existe un morfismo de anillo que los envía a todos a $1$ y el hecho evidente de que $$ (1-X+X^2-X^3+\cdots)^{-1}=1+X $$ Esto demuestra que el mencionado morfismo envía $h_0$ y $h_1$ a $1$ y todos otros $h_i$ a $0$ este valor es precisamente la suma de los coeficientes de todos los $e_\lambda$ que buscábamos.

Finalmente para el cálculo de la matriz $C_n$ También parece que lo mejor es verlo como la inversa de la matriz $(M_{\lambda,\mu})_{\lambda,\mu\in\mathcal P_n}$ , que se convierte en unitriangular tras permutar sus columnas según la transposición de las particiones. Sin embargo, $M_{\lambda,\mu}$ se calcula mejor no por contando $0$ - $1$ matrices (sus números crecen hasta $n!$ en la esquina inferior derecha ), sino a través de $$ M_{\lambda,\mu}= \sum_{\lambda\leq\nu\leq\mu^{tr}}K_{\nu,\lambda,}K_{\nu^{tr},\mu} $$ donde $K_{\nu,\lambda}$ designa un número de Kostka, el número de tablas semi-estándar de Young de forma $\nu$ y el peso (contenido) $\lambda$ . Esta identidad se demuestra biyectivamente por la correspondencia asimétrica RSK, una correspondencia biyectiva entre $0$ - $1$ y pares de tablas semiestándar de formas de transposición, cuyas ponderaciones vienen dadas respectivamente por las sumas de las columnas y las sumas de las filas de la matriz. Los números de Kostka implicados suelen ser bastante más pequeños que $M_{\lambda,\mu}$ y además, hay formas de calcularlas sin contarlas; un método es interpretarlas como multiplicidades de peso para interpretarlos como multiplicidades de peso para $GL_n$ y utilizar una fórmula como la recurrencia de Freudenthal para ellos. (El programa LiE que mantengo lo hace, y hará este cálculo fácilmente; uno puede obtener resultados en línea hasta $n=9$ de este sitio si se tiene en cuenta que una partición está representada por el secuencia de diferencias de partes sucesivas: $[4,2,2,1,0,0,0,0,0]$ es representado como $[2,0,1,1,0,0,0,0]$ .)

Se podría calcular $M_{\lambda,\mu}$ de esta manera e invertir el resultado, o invertir la matriz de los números de Kostka y deducir de la fórmula anterior, que puede interpretarse como un producto matricial, la fórmula $$ C_{\lambda,\mu}= \sum_{\lambda^{tr}\leq\nu\leq\mu}K'_{\lambda,\nu^{tr}}K'_{\mu,\nu} $$ donde $(K'_{\lambda,\mu})_{\lambda,\mu\in\mathcal P_n}$ es la inversa de la matriz de Kostka $(K_{\lambda,\mu})_{\lambda,\mu\in\mathcal P_n}$ . No sé No sé mucho sobre estos "números inversos de Kostka", pero encontrarás alguna información sobre ellos en las respuestas a esta pregunta del modus operandi No estoy seguro de que esto permita calcularlos de forma más eficiente que invirtiendo la matriz de Kostka.

Answer 2

Además de la muy buena respuesta de Marc, encontré esto Introducción a las funciones simétricas por Mike Zabrocki:

$$ e_\mu = \sum_\lambda B_{\lambda \mu} m_\lambda\tag{2.28} $$ donde $B_{\lambda \mu}$ es el número de matrices con entradas en $\{0, 1\}$ cuya suma de columnas es $\mu$ y la suma de filas es igual a $\lambda$ . $$\dots$$ $B_{\lambda \mu}$ es el número de formas de llenar el diagrama de Young para la partición con $\mu_1$ 1s, $\mu_2$ 2s, etc. que son estrictamente crecientes en las filas y no hay ninguna restricción en la relación entre los valores en las columnas.

En una tabla que resume todas las transiciones posibles al final del capítulo 2.1 también mencionan lo que yo buscaba anteriormente $$ m_\mu = \sum_\lambda G_{\lambda \mu} e_\lambda, $$ pero dejar como ejercicio el determinar algún tipo de fórmula para estos ( $G_{\lambda \mu}$ ).