Supongamos que ahora estamos tratando de explicar a los estudiantes que no saben números complejos, ¿cómo podemos distinguir $i$ y $i$ a ellos? Objetan que cuadrados a $-1$ y en consecuencia son indistinguibles. ¿Hay una manera de explicar esto de una manera elemental sin entrar en cosas introductorias en análisis complejo?
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celtschk
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13058
Si usted construye $\Bbb C$ como $\Bbb R[X]/(X^2+1)$ de las raíces son indistinguibles. Sólo tiene que elegir uno y la identifica con el punto $(0,1)$ en el de Gauss-Argand'plano. Que el elegido será de $i$.
Si, por el contrario, construir $\Bbb C$ como el conjunto de pares $(a,b)\in\Bbb R^2$, con adecuado de la adición y la multiplicación, entonces $\pm i=(0,\pm1)$.
Las dos construcciones son naturalmente isomorfos, pero no canónicamente isomorfo, debido a la arbitrarity de la elección de una raíz que es el efecto de la existencia de un trivial $\Bbb R$-automorphism, a saber, el complejo de la conjugación.
Cagri
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61
Si usted construye $\mathbb{C}$ puramente algebraica, entonces no hay distinción hasta que usted haya elegido lo que $i$ es, y, a continuación, la distinción se hace la observación de que, si $x=i$ es una solución a $x^2=-1$ entonces $x=-i$ es el otro.
Este es beause construimos $\mathbb{C}$ algebraicamente como el campo de $\mathbb{R}. (i)$ obtenidos por contigua a $i$ a $\mathbb{R}$, donde $i$ es un resumen de la raíz del polinomio $x^2+1$. Pero una vez que hayas hecho esto, usted puede declarar que $i$ es el punto en el Argand'diagrama de la mentira en la unidad de longitud 'de arriba' $0$, y esto la distingue de $-i$. Como André Nicolás dice en los comentarios, si hubiera elegido $-i$ en lugar de los $i$, a continuación, no importa, ya que la única!) mapa de la fijación de $\mathbb{R}$ y el envío de $i \mapsto -i$ es $\mathbb{R}$-automorphism de $\mathbb{C}$. (Intuitivamente: la elección de la otra raíz no cambia nada, excepto el etiquetado.)
En más términos humanos, por ejemplo, de $i$ es "algo" que las plazas a dar $-1$, entonces $-i$ es 'otra cosa', que hace lo mismo.
A continuación, podemos hacer la traducción a la Argand'diagrama de identificación de este nuevo campo de $\mathbb{C}=\mathbb{R}. (i)$ con el plano de $\mathbb{R}^2$ mediante la siguiente correspondencia: $$\mathbb{C} \ni a+bi \leftrightarrow (a,b) \in \mathbb{R}^2$$ con las operaciones de $$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$$ $$(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd, ad+bc)$$
Michael Hardy
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128804
No importa que se llame $ $i; lo que sea, el otro se llama $i$.
Sospecho que no es necesario decir más que eso. Y una manera para decir mucho más en respuesta a esa pregunta podrían hacer la respuesta parece más complicada de lo que realmente es. Eso no significa que usted no debería decir más después de decir eso; por ejemplo, que el campo $\mathbb{C}$ tiene exactamente un automorfismo que es horriblemente no se comportó mal, etc.
Bluebird75
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4612
Primero apagado, usted no necesita saber nada acerca de análisis complejo para entender esto. Análisis complejo que se refiere a hacer el cálculo con números complejos, pero esto es simplemente una pregunta sobre el básico complejo sistema del número en sí.
A modo de analogía, pensemos por un momento acerca de la forma en que los antiguos Griegos concebido de números ordinarios. Euclides Elementos de la realidad no es sólo acerca de lo que se enseña hoy en día como la geometría; está lleno de material que hoy en día sería considerado álgebra y teoría de números. Por ejemplo, lo que podríamos representar como la multiplicación de $xy$, Euclides representaría como el área de un rectángulo con lados de longitudes determinadas. Una identidad como $x(y+z)=xy+xz$ estarían representados como cortar un rectángulo en dos rectángulos más pequeños. En Euclid del sistema, no hay tal cosa como el número real del sistema, y de hecho no es ni siquiera un número de 1. Si me dicen que estoy 6 pies de altura, en Euclid del lenguaje podríamos decir que tenemos dos diferentes segmentos de línea, y su proporción es de 6. El pequeño es elegido de forma arbitraria como la unidad de medición. Pero la elección de la unidad de segmento es completamente arbitraria, y puede ser diferente si usted terminar un cálculo y comenzar otra.
Del mismo modo, es completamente arbitraria cómo etiquetar a $i$ frente $-i$. Por ejemplo, una aplicación típica de los números complejos es describir las oscilaciones. Supongamos que dos de los automóviles, limpiaparabrisas están en ejecución. Tienen la misma frecuencia, digamos de 1 Hz, pero están fuera de fase con el otro a 90 grados. Podemos representar las dos oscilaciones como los números complejos cuyas magnitudes representan la frecuencia y cuyos argumentos representan la fase. Las magnitudes de los dos tiene que ser 1, pero es completamente arbitrario si utilizamos una mayor argumento para representar una oscilación con una primera fase, o un retraso. Tenemos que hacer una elección arbitraria. No hay nada que nos obliga a ser coherentes en esta elección de un cálculo a la siguiente.
Así, al igual que Euclides del sistema "no le importa" que la longitud consideramos una unidad, el número complejo sistema de "no importa", que la raíz de -1 llamamos a $i$ y que $-i$.
