Ecuación diferencial $xy^3y'=2y^4+x^4$

Question

Resolver la ecuación diferencial $$xy^3y'=2y^4+x^4$$

Answer 1

Una pista: Introducir la nueva función $z(x)$ con $y(x)= x z(x)$ para que la EDO sea separable.

Después de algunos cálculos, deberías obtener $$ \frac{ z^3z'}{1+z^4} = \frac1x.$$

Answer 2

Dividiendo $xy^3$ en ambos lados, obtenemos $$\tag{1}y'=2\frac{y}{x}+\frac{x^3}{y^3}$$ que es una ecuación diferencial homogénea. Podemos utilizar la sustitución $u=\frac{y}{x}$ . Entonces $y=ux$ y $\frac{dy}{dx}=x\frac{du}{dx}+u$ . Sustituyéndolo en $(1)$ obtenemos $$x\frac{du}{dx}+u=2u+\frac{1}{u^3}$$ o $$x\frac{du}{dx}=u+\frac{1}{u^3}$$ que se puede resolver por separación de variables.

Answer 3

Otro método es darse cuenta de que $y^3y'$ es, hasta un factor constante, la derivada de $y^4$ . Así obtenemos:

\begin {align*} xy^3y' &= 2y^4 + x^4 \\ x \frac {d}{dx} \left ( \frac {y^4}{4} \right ) - 2y^4 &= x^4 \\ \frac {d}{dx}(y^4) - \frac {8}{x}y^4 &= 4x^3 \\ \end {align*}

donde, en el último paso, necesitamos $x \neq 0$ . Ahora puedes resolverlo utilizando un factor integrador.