Así que mi pregunta es, simplemente, que para los grupos de $A, B, C,$ si C es finito, a y B, infinito e $A\oplus C \cong B \oplus C$$A \cong B$? Mi instinto me dice que este debe ser el caso, y lógicamente no puedo encontrar la razón por la que no debe ser, pero me parece que no puede derivar una prueba formal de este para la vida de mí.
Tenga en cuenta que yo soy muy consciente de que esto no es siempre cierto para la infinita C.
Sí, esto es cierto. Un grupo de $C$ es cancelable si $A\times C\cong B\times C\Rightarrow A\cong B$. Por lo tanto, el resultado es "de grupos finitos son cancelables". Esto es, y no depende de los grupos $A$$B$.
Que grupos finitos son rescindibles fue probada por primera vez por B. Jónsson y A. Tarski (1947), quien demostró que, en el caso más general de "álgebras" (conjuntos de operaciones, pero por lo que puedo decir esto es no la noción moderna de un álgebra - pero puedo estar equivocado). Ver su libro Directo Descomposiciones Finito de Sistemas Algebraicos, Teorema 3.11. Si usted no está convencido de que su resultado general se sostiene para los grupos, véase la introducción, o leer Definición 1.1 del Capítulo 1, donde se definir un álgebra y explicar cómo ver un grupo de esta forma (el propósito del libro no es generalizar los resultados en directo de los productos de los grupos de productos directos de "álgebra de operadores", pero se nota en la introducción que el resultado que estamos discutiendo aquí parece que no ha sido probado antes).
Para una puramente grupo de la teoría de la argumentación, vea el documento Sobre la cancelación en grupos por R. Hirshon (el enlace está detrás de un paywall). Este trabajo también demuestra que $\mathbb{Z}$ es no cancelable.
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