Si tengo i.i.d. r.v.'s $X_1, X_2,...$ entonces el álgebra de la cola sigma se define como $ \mathcal {T}:= \cap_n\sigma_n $ donde $ \sigma_n := \sigma (X_n,X_{n+1},...)$ . De esto obtenemos muy buenos resultados como la ley Kolmogorov 0-1. Me preguntaba si tiene sentido considerar el limsup y el liminfs de esta manera: $ \bigcup_n\bigcap_ {k \ge n} \sigma_k $ y $ \bigcap_n\bigcup_ {k \ge n} \sigma_k $ . ¿Tienen un significado sensato y hay leyes similares como la ley 0-1 correspondiente a cada una?
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user11867
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Definamos $ \mathcal {T}_n= \bigcap_ {k=n}^ \infty\sigma_k $ para que la cola $ \sigma $ -La álgebra es sólo $ \mathcal {T}= \mathcal {T}_1$ .
Ahora, lo primero que hay que notar es que $ \sigma_ {n+1} \subset\sigma_n $ para todos $n$ . Esto significa que $ \mathcal {T}_n= \bigcap_ {k=n}^ \infty\sigma_k $ no depende en realidad de $n$ . Así que $ \mathcal {T}_n$ = $ \mathcal {T}$ para todos $n$ . Por lo tanto, $$ \bigcup_ {n=1}^ \infty\bigcap_ {k=n}^ \infty\sigma_k = \bigcup_ {n=1}^ \infty \mathcal {T} = \mathcal {T}. $$
Por otro lado, $ \sigma_ {n+1} \subset\sigma_n $ implica que $ \bigcup_ {k=n}^ \infty \sigma_k = \sigma_n $ . Por lo tanto, $$ \bigcap_ {n=1}^ \infty\bigcup_ {k=n}^ \infty\sigma_k = \bigcap_ {n=1}^ \infty \sigma_n = \mathcal {T}. $$
Así que ambas generalizaciones sugeridas son, de hecho, sólo la cola $ \sigma $ -algebra, $ \mathcal {T}$ .
Editar:
Aquí hay algo de información adicional. Como sabrán, la intersección de $ \sigma $ -algebras es un $ \sigma $ -algebra, pero la unión de $ \sigma $ -no es algebra, en general. Por lo tanto, es común adoptar la siguiente notación. Si $\{ \mathcal {F}_i\}_{i \in I}$ es una colección de $ \sigma $ -algebras, entonces $$ \bigvee_ {i \in I} \mathcal {F}_i = \sigma\bigg ( \bigcup_ {i \in I} \mathcal {F}_i \bigg ). $$ Con esta notación, podemos escribir $$ \mathcal {T} = \bigcap_ {n=1}^ \infty\bigvee_ {k=n}^ \infty\sigma (X_k). $$ Así que en este sentido, la cola $ \sigma $ - la álgebra ya es una limosna. Podríamos entonces preguntarnos sobre la $ \sigma $ -algebra $$ \mathcal {S} = \bigvee_ {n=1}^ \infty\bigcap_ {k=n}^ \infty\sigma (X_k). $$ Se puede demostrar que $ \mathcal {S} \subset\mathcal {T}$ para que Kolmogorov $0$ - $1$ la ley sigue siendo válida en $ \mathcal {S}$ . Para ver esto, supongamos $A \in\bigcup_n\bigcap_ {k \ge n} \sigma (X_k)$ . Entonces existe $n$ de tal manera que $A \in\sigma (X_k) \subset\sigma_k $ para todos $k \ge n$ . Esto implica $A \in\mathcal {T}$ y muestra que $ \bigcup_n\bigcap_ {k \ge n} \sigma (X_k) \subset\mathcal {T}$ . Desde $ \mathcal {T}$ es un $ \sigma $ -algebra, se deduce que $$ \mathcal {S} = \sigma\bigg ( \bigcup_n\bigcap_ {k \ge n} \sigma (X_k) \bigg ) \subset\mathcal {T}. $$ La inclusión inversa no es necesariamente válida. Por ejemplo, dejemos que $P$ ser cualquier medida de probabilidad de Borel en $ \mathbb {R}$ de tal manera que $P( \mathbb {Q})=0$ . Para $n \in\mathbb {N}$ que $X_{2n}=0$ y $X_{2n+1}=1_{ \mathbb {Q}}$ . Luego $X_j=0$ a.s. por cada $j$ así que esto es, de hecho, una secuencia IID. (En general, si $U$ es constante a.s. y $V$ es cualquier variable aleatoria, entonces $U$ y $V$ son independientes.)
En este ejemplo, $ \sigma (X_{2n})=\{ \emptyset , \mathbb {R}\}$ y $ \sigma (X_{2n+1})=\{ \emptyset , \mathbb {Q}, \mathbb {Q}^c, \mathbb {R}\}$ . Por lo tanto, $ \mathcal {S}=\{ \emptyset , \mathbb {R}\}$ y $ \mathcal {T}=\{ \emptyset , \mathbb {Q}, \mathbb {Q}^c, \mathbb {R}\}$ .
