¿Cómo los polinomios de Taylor de trabajo para aproximar funciones?

Question

I (tipo de) a entender lo que en series de Taylor de hacer, se aproximan a una función que es infinitamente diferenciable. Bueno, primero de todo, lo que hace infinitamente diferenciable decir? Qué significa que la función no tiene ningún punto donde la derivada es constante? Alguien puede explicar intuitivamente que a mí?

De todos modos, por lo que la función es infinitamente diferenciable, y el polinomio de Taylor mantiene la adición de términos que hacen que el polinomio = a la función en algún punto, y entonces la derivada del polinomio = a la derivada de la función en algún punto, y la derivada segunda, y así sucesivamente.

¿Por qué hacer la derivada, segunda derivada ... infinitas derivada de un polinomio y una función igual en algún punto de asegurar que el polinomio va a coincidir con la función de la exactamente?

Answer 1

Decir que me quiero aproximar la función de $f(x)$ a un punto. Vamos a hacer $0$ por la simplicidad. Ya que la función es continua, se puede tomar la función constante $y=f(0)$ como un comienzo. Pero claro, esto es un terrible ejemplo. Un mejor sería de no solo tener el mismo valor, pero tienen la misma tasa de cambio. Así lo hacemos:

$$y'=f'(0)$$ $$y=f'(0)x+C$$

Desde $x=0$, $C=f(0)$ y nuestra nueva aproximación es

$$y=f'(0)x+f(0)$$

Pero espera! Una incluso mejor que uno tendría la misma derivada segunda . De esa manera se puede incluso comenzar a curva como la función!

$$y''=f''(0)$$ $$y'=f''(0)x+f'(0)$$ $$y=\frac{f''(0)x^2} 2+f'(0)x+f(0)$$

En una aún mejor sería partir de la tercera derivada, por lo que puede moverse alrededor de cero si es necesario, y obtenemos:

$$y=\frac{f'''(0)x^3} 6 + \frac{f''(0)x^2} 2+f'(0)x+f(0)$$

El patrón general es fácil de ver: nuestros mejores aproximaciones son la adición de la expresión: $$\frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!}$$

en nuestro anterior adivinar. Así que podemos decir, entonces, que la mejor infinito polinomio de aproximación es sólo tomar todos estos juntos, que va a ser:

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!}$$

Cual es la serie de Taylor en $x=0$. Como otros han señalado que no siempre funciona, pero si vas a iniciar su aproximación al exigir que todos los derivados a ser igual, esto es lo que usted viene para arriba con.

Answer 2

Siendo infinitamente diferenciable sólo significa que usted puede seguir tomando derivados. Tener un derivado no es garantía de tener dos, con dos no es garantía de tener los tres. Considere la posibilidad de $f_n(x)=\begin {cases} 0 & x \lt 0 \\ x^n & x \ge 0 \end {cases}$
Ha $n-1$ derivados en todas partes, pero no ha $n$ $x=0$ no Hay ningún problema en tener los derivados constante, ya que todos estos tienen constante derivados de $0$ $x \lt 0$

La adición de términos de la serie de Taylor coincide con sucesivos derivados a la función. Si la función es analítica, esto hace que la aproximación mejor y mejor. Si usted tiene plazos de hasta el $n^{th}$ en su serie, el término de error será proporcional a $x^{n+1}$. Para las pequeñas $x$ esto probablemente va a ser muy pequeño y más pequeño de lo $n$ aumenta.

No asegurarse de que es exactamente la misma. Considere el ejemplo estándar $g(x)=\begin {cases} 0 & x= 0 \\ \exp(-\frac 1{x^2}) & x \ne 0 \end {cases}$

Esto es infinitamente diferenciable, y en $x=0$ tiene todos los derivados $0$, por lo que no es igual que la serie de Taylor.

Answer 3

Como la ms responden a otros han dicho, es necesario fortalecer el estado en su función de suave a lo analítico. Una vez que hayas hecho esto, he aquí una puñalada en la intuición detrás de los polinomios de Taylor como aproximaciones sucesivas.

El cero el polinomio de Taylor para $f$ $x_0$ es simplemente la constante de la función $f(x_0)$. Por supuesto, es una muy mala aproximación de funciones interesantes, pero no es así para un aproximado de un parámetro de la clase de funciones a la perfección-la constante de funciones $y=a_0$. La mejor cosa siguiente es tomar un derivado, que sabemos que da los mejores lineal aproximación a $f$ cerca de $x_0$. Aviso que no se pierde nada, ya que si $f$ fue originalmente constante, entonces nuestra aproximación lineal es $y=a_1x+a_0$ $a_1=0$ y la "aproximación" es aún perfecto, mientras que para todo lo demás, con un valor distinto de cero la derivada, la que hemos llegado más cerca de la función real de cerca de $x_0$. Tomar más polinomios es un directo de la generalización de este proceso. Con la segunda derivada puedo encontrar el más cercano cuadrática a $f$ cerca de $x_0,$ y ya que todo lo lineal es un caso especial de una ecuación cuadrática, que sin duda puede solamente llegar a una mejor aproximación.

Tomando este proceso hasta el límite de "infinito-polinomios de grado", es decir, el poder de la serie, se podría esperar que algunas funciones interesantes, en realidad igual al límite de su expansión en este camino. Lo que demuestra esta dirección requiere algunos jugueteando con la diferencia de cocientes, pero en realidad el más importante de la analítica de la función, no hay nada que probar: $e^t$ se define, al menos en una versión, como su poder de expansión de la serie. Incluso podemos llegar a$\sin$$\cos$, por lo que todas las funciones trigonométricas de esta manera, si partimos de más de $\mathbb{C}$, aunque esto sería bastante perverso.

Answer 4

Nadie parece tener lo dije, pero en la serie de Taylor es una potencia de la serie de la forma $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} b_{n}(x-a)^{n}.$ es una consecuencia de un teorema de Weierstrass que una serie tiene radio de convergencia. Esto puede ser $0$, algunos de los verdaderos positivos cantidad $r$ o $\infty$. Esto significa que el poder de la serie converge solamente para $x = a$, converge para $|x-a| <c,$ o converge para todos los $x.$ El caso de que el radio de convergencia es inútil en la práctica. En el caso de que el radio de convergencia es infinito es ideal cuando sucede, pero puede fallar incluso para funciones familiares. Si el radio de convergencia es $r >0$ (posiblemente $r = \infty,$ la función definida por el poder de la serie es infinitamente diferenciable en el intervalo de $(a-r,a+r).$ Además, todos los derivados tienen un poder de expansión de la serie, y el poder de expansión de la serie es lo que se obtiene por diferenciación de la alimentación de la serie término a término el número apropiado de veces. La evaluación de las derivadas mayores en $a,$ podemos ver fácilmente que el $f^{(k)}(a) = k!b_{k},$ desde el $k$-ésima derivada de $(x-a)^{j}$ $0$ $j <k$ y se desvanece en $a$ $j >k.$ por lo tanto el poder de la serie, si converge en un intervalo de positivos longitud, tiene que ser igual a su Serie de Taylor. El milagro es que el uso repetido del valor medio teorema que lleva a un resto término que a menudo puede ser demostrado que tienden a cero, y que muchas funciones familiares tienen el poder de la serie de representaciones dadas por la serie de Taylor.

Answer 5

No. De hecho, hay liso (que puede tomar una infinidad de derivados en el punto en cuestión) funciones que no son analíticas (función representada por su serie de Taylor en el punto en cuestión). Un ejemplo habitual es: para $x \neq 0$ $$f(x) = e^{-1/x^2} $$ y $f(0)=0$. Se puede demostrar que los polinomios de Taylor para $f$ a cero son todos trivial por lo tanto la serie de Taylor es el cero de la serie. Sin embargo, $f(x) \neq 0$ $x \neq 0$ por lo tanto la aproximación de la serie, no se logra captar $f$ cerca de cero.

En resumen, el conjunto de las funciones lisas es mayor que el conjunto de funciones analíticas.