Generadores de un grupo cíclico

Question

En un papel hay un lema que dice así:

Deje $G= \langle a,b \rangle$ ser finito cíclico grupo. A continuación, $G=\langle ab^n \rangle$ para algunos entero $n$.

La prueba se omite porque es "sencillo" pero yo no soy capaz de la prueba. ¿Cómo funciona esto?

Answer 1

Yuval la solución, sans Dirichlet: vamos a $n$ ser el producto de todos los primos que dividen a la orden de $G$, pero no se dividen $x$. A continuación,$\gcd(x+ny,|G|)=1$.

Prueba: Supongamos $p$ ser un primer división de la orden de $G$. Si $p$ divide $x$, entonces no se dividen $y$ (desde $\gcd(x,y,|G|)=1$), y no divida $n$ (por construcción), por lo que no dividen $ny$, por lo que no dividen $x+ny$.

Si $p$ no divide $x$, a continuación, divide $n$ (por construcción), por lo que se divide $ny$, por lo que no dividen $x+ny$. Así que no prime la división de la orden de $G$ divide $x+ny$.

Answer 2

Sin pérdida de generalidad, $a,b \neq 1$. Para $g$ un generador de $G$, $a = g^x$ $b = g^y$ donde $(x,y) = 1$. Por Dirichlet del teorema, no es $n > |G|$ tal que $x + ny$ es primo, por lo que el $(x+ny,|G|) = 1$. Por lo tanto, $ab^n = g^{x+ny}$ genera $G$.

Edit: Como se comenta más abajo, que en realidad sólo se sabe que $d=(x,y)$ es relativamente primer a $|G|$. Por Dirichlet del teorema, no es $n > |G|$ tal que $(x+ny)/d$ es primo, y por lo $(x+ny,|G|)=1$.