La respuesta es, sí existe una prueba directa. Aquí es un boceto de una prueba pasos (iv) y (v) a continuación se adaptan de Joseph L. Taylor "Varias Variables Complejas, con Conexiones a la Geometría Algebraica y la Mentira de los Grupos", en la Sección 11.11. Todas las referencias entre paréntesis, como "(3.7)", Rudin del Análisis Funcional libro (Segunda Edición); Rudin del libro no incluye la teoría de localmente convexo topologías en dos pares ni la Mackey-Arens teorema.
(i) Si $X$ es un espacio de Fréchet, a continuación, la topología de la convergencia compacta en ${X^*}$ es el mismo que el localmente convexo de la topología inducida por la seminorms ${\sup _{x \in K}}\left| {f(x)} \right|$, $K$ relativamente compacto. Esto se deduce de (1.34)-(1.38). Deje $X_c^*$ denotar $X^*$ con estos coincidente topologías.
(ii) Si $X$ es un espacio de Fréchet, a continuación, el cerrado convexo equilibrada casco de un conjunto compacto es compacto. Esto es (3.20), ajustado y equilibrado incluido conjuntos.
(iii) Para cualquier localmente convexo del espacio $Y$, (3.11) que da el $Y$-topología, o débil*-topología, denotado $Y_w^*$, hace ${Y^*}$ en un localmente convexo del espacio en el que el espacio dual se $Y$: $Y \cong {\left( {Y_w^*} \right)^*}$ como espacios vectoriales; en este caso se identifican $Y$ con su imagen en ${\left( {Y_w^*} \right)^*}$, que consta de la evaluación funcionales. El $Y$-topología local de la subbase de los elementos de la forma $\left\{ {f \in {Y^*}:\left| {f(y)} \right| < r} \right\}$.
(iv) Si $Y$ es un espacio de Fréchet, a continuación, un local como elemento base para la topología de convergencia compacta es $\left\{ {f \in {Y^*}:{{\sup }_{y \in K}}\left| {f(y)} \right| < r} \right\}$, $K$ relativamente compacto en $Y$. Evidentemente, el $Y$-topología es más débil que la topología de la convergencia compacta de (iii), por lo que una funcional lineal continua en $Y_w^*$ debe ser continua en $Y_c^*$. Si $f(x) = f(y)$ todos los $f \in {Y^*}$, $x = y$ por (3.4). Poner estos hechos junto con la (3.14) da que no es una incrustación $Y \cong {\left( {Y_w^*} \right)^*} \subset {\left( {Y_c^*} \right)^*}$ través $y \mapsto {\Lambda_y}$ donde ${\Lambda_y}(f) = f(y)$, o, si nos identificamos $y$${\Lambda_y}$, podemos simplemente escribir $y(f) = f(y)$. Si ${\left( {Y_c^*} \right)^*}$ es dada la débil*-topología, entonces este mapa es continuo: un local de subbase elemento de $\left( {Y_c^*} \right)_w^*$ tiene la forma $\left\{ {\Lambda \in {{\left( {Y_c^*} \right)}^*}:\left| {\Lambda (f)} \right| < r} \right\}$ algunos $f \in {Y^*}$; el inverso de la imagen de este conjunto en virtud de la inclusión es $\left\{ {y \in Y:\left| {f(y)} \right| < r} \right\}$, que se abre en $Y$. En particular, un subconjunto compacto $K$ $Y$ se asigna a un subconjunto compacto de $\left( {Y_c^*} \right)_w^*$.
(v) Para un espacio de Fréchet $X$, se demuestra que $X \cong {\left( {X_w^*} \right)^*}={\left( {X_c^*} \right)^*}$: vamos a $\lambda \in {(X_c^*)^*}$, entonces no es un $0$-vecindario $V$ $X_c^*$ tal que $\left| {\lambda (f)} \right| < 1$ todos los $f \in V$. Podemos suponer que el vecindario $V$ tiene la forma $\left\{ {f \in X_c^*:\mathop {\sup }\limits_{x \in K} \left| {f(x)} \right| < 1} \right\}$ para algunos relativamente compacto $K$. Sin pérdida de generalidad, por (ii) podemos suponer que la $K$ es compacto, convexo y equilibrado; (iv), $K$ es compacto, convexo, y equilibrado en $\left( {X_c^*} \right)_w^*$.
Sabemos que cada funcional lineal continua en $\left( {X_c^*} \right)_w^*$ está dada por un elemento de a $X_c^*$, debido a ${\left( {\left( {X_c^*} \right)_w^*} \right)^*}$ puede ser identificado con $X_c^*$ por (iii). Si $\lambda $ no es un elemento de $K$, luego se sigue por la parte convexa de la separación teorema (3.7) que hay un $f \in {\left( {\left( {X_c^*} \right)_w^*} \right)^*} \equiv X_c^*$ (identificación) de forma tal que $\left| {f(\lambda )} \right| > 1$ $\left| {f(x)} \right| \le 1$ todos los $x \in K$; la multiplicación por un escalar, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $\left| {f(\lambda )} \right| > 1$ $\left| {f(x)} \right| < r < 1$ todos los $x \in K$. Pero $f \in X_c^*$, lo $f \in V$. Esto es una contradicción, ya que $\left| {f(\lambda )} \right| = \left| {\lambda (f)} \right| < 1$ si $f \in V$. Llegamos a la conclusión de que $\lambda $ pertenece a $K$, y, en particular, $\lambda $ pertenece a $X$.
