Centralizador de un determinado permutación

Question

Deje $n = 2k \gt 0$ ser un entero par, y $S_n$ el grupo simétrico de a $\{1,..,n\}$.

Deje $\mu$ ser la permutación s.t. $\mu(x) = n-x+1$.

Pregunta: ¿Cuál es el centralizador de $\mu$$S_n$ ? Es decir, ¿cuál es el subgrupo $Z(\mu)$ de todas las permutaciones en $S_n$ que conmuta con $\mu$ ?

Tenga en cuenta que $\mu$ es el producto de $k$ discontinuo transposiciones, y por lo tanto una involución (auto-inversa), $\mu = (1\;n) (2\;n-1) \ldots (k\;k+1)$. Porque ellos son distintos, estas transposiciones viaje, y de ello se sigue que $\mu$ conmuta con cualquier producto de un subconjunto de estos.

Pero estos productos no suelen dar cuenta de toda la centralizador $Z(\mu)$. Por ejemplo, con $n=6$, la permutación $(1\;3) (4\;6)$ viajes con $\mu$, pero no se pueden expresar como un producto de los distintos relatos anteriores que forman $\mu$.

Si es posible una caracterización explícita de $Z(\mu)$ elementos, sería preferible, sino una construcción de generadores (válido para todas las $n$) también sería útil. La aplicación que tengo en mente es la enumeración de las diagonales de los cuadrados latinos; ver también una pregunta relacionada con la que he publicado anteriormente.

La idiosincrasia de los término que se usa allí, $\mu$-trastorno, que puede estar justificado por su definición de ser equivalente a una permutación $g$ $\mu g$ alteraciones (permutaciones sin puntos fijos). Computacionales experiencia sugiere que $\mu$-trastornos que comparten fácilmente calculada invariantes resultado en números iguales de "normalizar" los cuadrados latinos, y que el más amplio alcance de esta equivalencia puede derivar de la conjugación por permutaciones en $Z(\mu)$.

Answer 1

La conmutatividad de la condición $\mu\pi=\pi\mu$ puede ser escrito como $\mu\pi\mu^{-1}=\pi$. Por lo tanto una permutación $\pi$ viajes con $\mu$ si y sólo si reetiquetado de la estructura del ciclo de $\pi$ según $\mu$ hojas de $\pi$ invariante. Eso significa que para un determinado ciclo de $\pi$, el ciclo ha de tener longitud y los pares de elementos en la máxima distancia unos de otros en el ciclo debe ser asignado a cada uno de los otros por $\mu$, o el ciclo tiene que ser emparejado con otro ciclo de la misma longitud y $\mu$ mapa de los elementos de los ciclos para cada uno de los otros en orden. (En particular, $\pi$ debe tener un número par de ciclos de cada longitud impar; note la similitud con la condición de una permutación a ser la plaza de algunas de permutación, que es que debe haber un número par de ciclos de todos , incluso de longitud.)

Hay $2^kk!$ tales permutaciones, y están en bijection con $\mathbb Z_2^k\times S_k$. La permutación en el centralizador de $\mu$ correspondiente a $(v,\rho)\in\mathbb Z_2^k\times S_k$ es generado a partir de la estructura del ciclo de $\rho$ haciendo binario opciones de acuerdo a los elementos de la $v$. Para cada ciclo de $\gamma$$\rho$, el elemento $v_i$ correspondiente al menos un elemento de a $i$ $\gamma$ determina si $\gamma$ obtiene clonado para formar un par de ciclos asignado a cada uno de los otros bajo el reetiquetado de con $\mu$ o si $\gamma$ se duplicará en longitud para formar un ciclo asignan a sí mismo bajo el re-etiquetado con $\mu$. Los elementos $v_j$ correspondiente a los restantes elementos de la $j\ne i$ $\gamma$ determinar si $j$ o $n+1-j$ toma el lugar de $j$ en el clonado o duplicado de ciclo(s).

Answer 2

El centralizador de $\mu$ es un ejemplo de una corona de producto: Específicamente, es isomorfo a$C_{2} \wr S_{k},$, por lo que su fin es, de hecho, $k! 2^{k}.$ El "grupo base" es elemental Abelian grupo de orden $2^{k},$ y es generado por el $k$disjuntos los relatos que aparecen en $\mu,$ e las $S_{k}$ permutes estos $k$ generación de transposiciones alrededor como si fueran puntos individuales. Pero debe tenerse en cuenta que el centralizador es definitivamente no es un producto directo - es un tipo particular de semi-producto directo, pero el $S_{k}$ induce no trivial de automorfismos de la base del grupo.