Grupo de automorfismo y congruencias del cubo

Question

Quiero demostrar que el grupo de automorfismo del cubo es $\mathbb{Z}_2 \times S_4$ utilizando la información sobre las congruencias de un cubo. Con el cubo me refiero a la gráfica del sólido platónico, es decir, la gráfica cuyos vértices son $\{0,1\}^3$ dos vértices son adyacentes si sus cadenas de bits difieren exactamente en una coordenada. Esto es un ejercicio en [Lovasz, Problemas y Ejercicios de Combinatoria]. El solución dada allí dice que "cada automorfismo del cubo es, de hecho, inducido por una congruencia y que todo el grupo es el producto directo de $\mathbb{Z}_2$ y el grupo de congruencias directas del cubo... el grupo de congruencias directas del cubo es $S_4$ ...". ¿Cuál es la definición de "congruencia"? ¿Y por qué es un producto directo y $S_4$ ¿para el cubo?

Otras pruebas también serían geniales. Soy capaz de demostrar que el grupo de automorfismo del cubo es isomorfo a $\mathbb{Z}_2^3 \rtimes S_3$ (de hecho, esto es cierto para el $n$ -También el cubo de una dimensión, sustituyendo el 3 por $n$ ), pero ¿es este producto semidirecto una descripción tan buena del grupo de automorfismo como $\mathbb{Z}_2 \times S_4$ ? Parece que, en general, podría haber más de un producto semidirecto y una descripción directa del producto sería más completa.

Answer 1

Dejemos que $G \le S_8$ sea el grupo de automorfismo del gráfico cúbico dibujado anteriormente en el conjunto de vértices $\{a,\ldots,h\}$ . Observe que $|G|=48$ (hay muchas formas de demostrarlo), y nos gustaría identificar a este grupo. Mostramos $G \cong S_4 \times \mathbb{Z}_2$ . Para obtener el $S_4$ necesitamos 4 elementos que $G$ actúa sobre. Dejemos que $\Sigma$ denotan el conjunto de las 4 diagonales principales del cubo; por ejemplo, una de las diagonales es el subconjunto $\{a,g\}$ . Entonces $G$ actúa sobre $\Sigma$ y la correspondiente representación de permutación $f: G \rightarrow Sym(\Sigma)$ es onto y tiene núcleo $K:=\{1,\rho\}$ , donde $\rho$ denota la reflexión alrededor del centro del cubo. Por lo tanto, $K \trianglelefteq G$ .

Dejemos que $H \le G$ sea el conjunto de congruencias directas del cubo. (El sólido platónico tiene tanto congruencias directas, que se definen como aquellas isometrías que preservan la orientación, como isometrías indirectas/opuestas, que son isometrías que cambian el orden de una etiqueta en el sentido de las agujas del reloj a otra en sentido contrario. Las 24 rotaciones del cubo son congruencias directas (es decir, que preservan la orientación), mientras que la reflexión no preserva la orientación. Las 24 congruencias directas del cubo también se llaman simetrías rotacionales o movimientos rígidos del cubo). Entonces $|H|=24$ De ahí que $H \trianglelefteq G$ . También, $f$ restringido a $H$ es inyectiva. Para demostrar la inyectividad, observe que si $1 \ne h \in H$ es una simetría rotacional que fija dos diagonales en forma de conjunto, por ejemplo $\{a,g\}$ y $\{b,h\}$ entonces debe intercambiar $e$ y $f$ y, por tanto, no fija las dos diagonales restantes en sentido estricto; de forma equivalente, cualquier simetría rotacional del cubo que fije cada una de las cuatro diagonales (en sentido estricto) debe ser la identidad. Por lo tanto, $H \cap K=1$ y $f$ restringido a $H$ es un isomorfismo de $H$ a $Sym(\Sigma)$ De ahí que $H \cong S_4$ . Por lo tanto, el grupo de automorfismo del gráfico cúbico es el producto directo interno de $H$ y $K$ .

Tenga en cuenta que como $K$ es un subgrupo normal de $G$ de orden 2, está en el centro de $G$ . Así, la reflexión $\rho$ conmuta con cada automorfismo del gráfico del cubo.