¿Cómo se derivan $1 + 4 + 9 + \cdots + n^2 = \frac{n (n + 1) (2n + 1)} 6$

Question

Posibles Duplicados:
La prueba de que $\sum\limits_{k=1}^nk^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$?

Os voy a presentar a mi hija para el cálculo de integración por aproximar el área bajo y = f(x*x) mediante el cálculo de pequeños rectángulos debajo de la curva.

Esto es muy intuitiva y creo que ella entiende el concepto, sin embargo, lo que necesitamos ahora es una manera intuitiva para llegar a $\frac{n (n + 1) (2n + 1)} 6$ cuando inicio de $1 + 4 + 9 + \cdots + n^2$.

En otras palabras, ¿cómo le vino la primera antiguo matemático con esta fórmula - ¿cuáles fueron los primeros pasos que conducen a esta ecuación? Que es lo que me interesa, no de la prueba (que sería el segundo paso).

Answer 1

Trate de usar $(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1$. Tomar la suma de los dos lados.

Answer 2

SUGERENCIA: Utilice el hecho de que $(k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1$

Answer 3

Hay una bonita prueba sin palabras aquí : http://www.usamts.org/About/U_Gallery.php Es una prueba geométrica de las clases que supongo que podría contar como más intuitivo que el tanto artificial de la inducción.

Answer 4

sugerencia:deje $a_n=1+2^2+...+(n)^2$$a_n-a_{n-1}=n^2-(n-1)^2$, a continuación, utilice recursiva relación a probar $a_n= \frac{n (n + 1) (2n + 1)} {6}$ totalmente deje $a_n=\sum_{j=1}^\infty c_ja_{n-j} +f(n) $ en su pregunta $f(n)=An^k$ a continuación, calcular $a_n^p$ $a_n^g$ $a_n=a_n^p+a_n^g$