Anton, Bivens y Davis han escrito libros de cálculo con tarde
trascendentales y Stewart tiene un libro de cálculo con temprano trascendentales.
¿De qué se trata todo esto?
edit 1: (Ambos términos aparecen en los títulos de los libros).
Aquí está el libro de Anton, Bivens, Davis: https://www.wileyplus.com/WileyCDA/Section/Calculus-Late-Transcendentals-10e.id-813274.html
Aquí hay un enlace a una página de amazon que vende el libro de cálculo de Stewart:
La diferencia es totalmente pedagógica. En última instancia, ambos enfoques abarcan el mismo cálculo.
Los "trascendentales tardíos" son el enfoque tradicional de la enseñanza del cálculo en el que el tratamiento de las funciones logarítmicas y exponenciales se pospone hasta después de la introducción de la integración. En el método tradicional, el logaritmo natural es definido mediante la fórmula $$ \ln x \;\underset{\scriptscriptstyle\mathrm{def}}{=}\; \int_1^x \frac{1}{t}\,dt, $$ y $e^x$ se define entonces como la función inversa de $\ln x$ . Propiedades importantes de $\ln x$ como el que $\ln(xy) = \ln x + \ln y$ se demuestran a partir de la definición integral utilizando $u$ -sustitución, y de ellas se derivan las propiedades de la función exponencial. Potencias arbitrarias $a^b$ donde $a>0$ y $b\in\mathbb{R}$ se definen entonces por la fórmula $$ a^b = e^{b \ln a} $$ y se demuestra que esto concuerda con la definición existente cuando $b$ es racional.
En el método de los "primeros trascendentales", las funciones logarítmica y exponencial se introducen poco después de la definición de la derivada. La exponenciación en la que la potencia es un número real arbitrario se define mediante la fórmula $$ a^b \;=\; \lim_{q\to b}\, a^q $$ donde el límite se toma sobre los números racionales. (Hay algunas cuestiones técnicas para demostrar que este límite existe, que a menudo se ignoran). A continuación se argumenta que existe un número $e$ para lo cual $$ \frac{d}{dx}\bigl[e^x\bigr]\biggr|_{x=0} \;=\; 1, $$ aunque, de nuevo, la presentación de este argumento es a veces menos que completamente rigurosa. Se deduce que la derivada de $e^x$ es $e^x$ y el logaritmo natural se define como la inversa de la función exponencial.
El método tradicional tiene la ventaja de ser más limpio, y las pruebas son lo suficientemente sencillas como para poder presentarlas a los estudiantes de cálculo principiantes de forma matemáticamente rigurosa. Sin embargo, tiene varias desventajas claras:
No es muy intuitivo, ya que el logaritmo natural y la función exponencial son esencialmente invocados de la nada por lo que parece magia. El enfoque de los "primeros trascendentales", en cambio, se corresponde mucho más con la forma en que pensamos realmente en los exponenciales y los logaritmos.
Los estudiantes que sólo cursan un semestre de cálculo, entre los que se encuentran la mayoría de las carreras de biología de algunas universidades de Estados Unidos, no ven la función exponencial ni el logaritmo natural. Esto es un problema grave, porque se trata de las funciones más importantes para las aplicaciones en biología.
Incluso los estudiantes que cursan dos semestres de cálculo aprenden las funciones exponenciales y logarítmicas bastante tarde, lo que significa que no tienen tiempo para acostumbrarse a estas funciones.
En general, estos argumentos se consideran lo suficientemente convincentes como para que la mayoría de las universidades de Estados Unidos hayan adoptado libros de cálculo que utilizan el enfoque de los "primeros trascendentales".
Por supuesto, no todo el mundo está de acuerdo con este cambio, y se pueden presentar más argumentos a ambos lados del debate. En algunas universidades y en algunas clases de cálculo se siguen utilizando libros con el enfoque tradicional. En particular, algunas universidades ofrecen una secuencia de cálculo con honores diseñada específicamente para estudiantes de matemáticas y similares, y hay un argumento relativamente fuerte para usar el enfoque tradicional en ese curso. También tengo la impresión de que el enfoque de los "trascendentales tardíos" sigue siendo bastante popular fuera de Estados Unidos, aunque mis pruebas de ello son puramente anecdóticas.
Creo que el enfoque de los "primeros trascendentales" probablemente tiene más sentido desde una perspectiva fundacional, ya que $\mathbb{C}$ tiene una función exponencial pero ésta no tiene una inversa de un valor. Por lo tanto, me inclino a decir que los exponenciales son el concepto más fundamental. También tienes la noción de un mapa exponencial de la teoría de Lie.
Gran respuesta. Estoy bastante seguro de que $\exp(x)$ se me presentó muy pronto a través de los seires de poder $1+x+\tfrac{1}{2!}x^2+\tfrac{1}{3!}x^3+\cdots$ y se demostró que el seno y el coseno están relacionados con ella. No estoy seguro de si los exponentes no racionales se mostraron relacionados o incluso se introdujeron en ese curso de introducción al cálculo, pero me imagino que el enfoque de la serie de potencias le da un montón de "maquinaria de la ciencia", incluso si usted no sabe o utiliza que la función $\exp(x)$ también es representable por un límite de $\exp(1)$ a la potencia de una secuencia racional que va a $x$ .
Yo estudié Cálculo con la versión "early transcendentals" de Anton [mira este enlace del libro [http://www.amazon.com/Calculus-Transcendentals-Combined-Howard-Anton/dp/0471472441\]](http://rads.stackoverflow.com/amzn/click/0471472441) y recuerdo que el libro explica los logaritmos naturales sin integrales, y después, vuelve a explicar los logaritmos naturales utilizando la notación integral. Me gustó el método de los "primeros trascendentales", porque ln(x) = log(e, x), es decir, el logaritmo natural se puede entender como un logaritmo en la base especial "e".
Trascendentales tempranos significa que tiene repaso al principio y Trascendentales tardíos o si el libro no dice nada yo y que no tiene repaso y salta directamente. Los libros de trascendentales tempranos suelen costar más que otros porque tiene esa parte de repaso extra. Esto se basa en un google reciente que acabo de hacer. Espero que te sirva de ayuda y no esté desfasado para ti.
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No estoy seguro de lo que quiere decir con esto. ¿Puede aclararlo, quizás con algunas citas relevantes de los libros?
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El libro de Stewart introduce las funciones trascendentales al principio del libro (capítulo 1), mientras que el otro libro las pospone hasta más adelante (capítulo 6). Esto no es una cuestión matemática.
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Los profesionales de la química, la física y la ingeniería necesitan que sus alumnos se sientan rápidamente cómodos con la función exponencial, el logaritmo y las funciones trigonométricas.
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Entonces, ¿la diferencia entre "trans temprano" y "trans tardío" es una diferencia entre los esquemas del libro, y no el material? ¿No se trata de "diferentes tipos de números trascendentales o funciones trascendentales"?
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@ninnymonger Sí la diferencia es cuando cosas como funciones trigonométricas, logaritmos, $e^x$ y demás se introducen. La filosofía de la trans tardía es que el cálculo sobre trigonometría, logaritmos, etc., no es necesario para expresar la esencia del cálculo temprano, es decir, los límites, las derivadas y similares. En la trans tardía, éstos se introducen más tarde en el esquema y de forma más suave. El cálculo Thomas también tiene lo mismo.
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Esta tiene que ser una de las preguntas más esclarecedoras que he leído en la pila de matemáticas. Me alegro de que esté aquí y me enfado conmigo mismo por no haber investigado nunca la misma pregunta. Nunca pensé en lo que podían significar los primeros trascendentales y ¡ojalá hubiera tenido más curiosidad al respecto! Gracias por hacer esta pregunta.