Intento de probar que cada subgrupo es un ecualizador

Question

Estoy tratando de probar:

Para cualquier subgrupo $H$$G$, hay un grupo de $T$ y homomorphisms $f,g:G\to T$ tal que $f(x)=g(x)$ fib $x\in H$.

Mi idea es construir un grupo que contiene dos copias de $G$ que se intersecan en una copia de $H$. Después de buscar un poco en google, me enteré de que esta construcción se llama un almagamated producto libre de $G*_HG$ (con natural inclusiones $i,j:H\to G$). Este grupo también puede ser descrito como $G*_HG=(G*G)/N$ donde $N$ es normal en el cierre de los elementos de la forma $i(h)j(h)^{-1}$, $h\in H$. Ahora defina $f=q\circ i,g=q\circ j$ donde $q:G*G\to(G*G)/N$ es la canónica cociente mapa.

Si $x\in H$,$i(x)j(x)^{-1}\in N$. Para la aplicación de $q$ da $f(x)g(x)^{-1}=1$, es decir, $f(x)=g(x)$. La parte difícil es a la inversa. Si $f(x)=g(x)$,$q(i(x)j(x)^{-1})=1$, lo $i(x)j(x)^{-1}\in N$. Es posible demostrar $x\in H$ a partir de aquí?

Estoy bastante seguro de que $f,g$ como se define debería funcionar. Porque cuando hicimos el producto libre con almagamation en $H$, debe ser el "más general", en el sentido de que nada fuera de $H$ es almagamated.

Answer 1

Definir $T:=G \times G$ $f(a)=(a,a)$ si $a \in H$, $f(a) = (a,0)$ si $a \notin H$, de igual forma definir $g(a)=(a,a)$ si $a \in H$, $g(a) = (0,a)$ si $a \notin H$.

De ello se deduce inmediatamente de la definición que $a \in H \iff f(a)=(a,a)=g(a)$.