¿Hay alguna hipótesis razonables en un mapa $f: X \to Y$ y una gavilla $E$$Y$, de modo que $f_* f^* E \cong E$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
cjstehno
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Has mirado en esta pregunta? -Esto es una especie de reciprocidad de los suyos.
Ambos functors $f^*$ $f_*$ son adjoints ( $f^*$ , $f_*$ a la derecha). En la pregunta anterior, se preguntó cuando la counit de la contigüidad $f^*f_*{\cal F} \longrightarrow {\cal F}$ fue un isomorfismo. El caso de $Y=*$ a un punto da un buen ejemplo de lo que puede esperar.
En cuanto a tu caso, te están preguntando cuando la unidad de la contigüidad ${\cal F} \longrightarrow f_*f^*{\cal F}$ es un isomorfismo. Un caso interesante para usted podría ser el siguiente: tome $X = Y_\mathrm{dis}$; es decir, $Y$ con la topología discreta, en la que cada punto es un conjunto abierto, y $f= \mathrm{id} :Y_\mathrm{dis} \longrightarrow Y $ a ser el mapa de identidad. A continuación, $f_*f^*{\cal F} = \prod_{y\in Y} y_*({\cal F}_y) $ donde ${\cal F}_y $ es el tallo de ${\cal F}$ en el punto de $y$ $y_*$ es la imagen directa functor inducida por la inclusión de un punto del espacio de ${*} \hookrightarrow Y$ en el punto de $y$. Es decir, $y_*({\cal F}_y)$ es un rascacielos de la gavilla.
O, si quieres que sea más simple, tome $X = {*}$ un punto del espacio y se puede eliminar ese producto $\prod_{y\in Y}$, obteniendo ${\cal F} \longrightarrow y_*({\cal F}_y)$.
De todos modos, para que $f = \mathrm{id}$, $f_*f^*{\cal F}$ es la primera etapa de la Godement cosimplicial resolución y le da siempre un flasque gavilla de uno arbitrario.
