Mientras entendía la diferencia entre las ondículas y la transformada de Fourier me encontré con este punto en Wikipedia .
La principal diferencia es que las ondículas se localizan tanto en tiempo como en frecuencia, mientras que la transformada de Fourier estándar sólo se localiza en frecuencia.
No he entendido lo que se quiere decir aquí con "localizado en el tiempo y la frecuencia".
¿Puede alguien explicar qué significa esto?
A grandes rasgos: se puede pensar en la diferencia en términos de la Principio de incertidumbre de Heisenberg Una de las versiones dice que el "ancho de banda" (dispersión de la frecuencia) y la "duración" (dispersión temporal) no pueden hacerse arbitrariamente pequeños.
La transformada de Fourier clásica de una función permite realizar una medición con ancho de banda 0: la evaluación $\hat{f}(k)$ nos indica con precisión el tamaño del componente de la frecuencia $k$ . Pero al hacerlo se pierde todo el control sobre la duración espacial: no se sabe en qué momento del tiempo suena la señal. Este es el caso límite del Principio de Incertidumbre: precisión absoluta en la frecuencia y control cero en la extensión temporal. (Mientras que la señal original, cuando se mide en un tiempo fijo, sólo te da precisión absoluta sobre la amplitud en ese tiempo fijo, pero cero información sobre el espectro de frecuencias de la señal, y representa el otro extremo del Principio de Incertidumbre).
La transformada wavelet aprovecha los casos intermedios del Principio de Incertidumbre. Cada medida de la wavelet (la transformada wavelet correspondiente a un parámetro fijo) te dice algo sobre la extensión temporal de la señal, así como algo sobre el espectro de frecuencias de la señal. Es decir, a partir del parámetro $w$ (que es el análogo del parámetro de frecuencia $k$ para la transformada de Fourier), podemos derivar una frecuencia característica $k(w)$ y un tiempo característico $t(w)$ y decir que nuestra función inicial incluye una señal de "frecuencia aproximada $k(w)$ " que ocurrió en "más o menos tiempo $t(w)$ ".
¿De qué sirve esto? Digamos que estamos observando la señal de la luz emitida por un semáforo. Entonces, durante un tiempo será roja, y durante otro tiempo será verde (ignora el amarillo por ahora). Si tomamos la transformada de Fourier de la frecuencia observada, podemos decir que
Pero un semáforo que funcione tendrá que mostrar el rojo o el verde a la vez, y no ambos. Y si el semáforo funciona mal y muestra ambas luces al mismo tiempo, seguiríamos viendo en la transformada de Fourier
Pero si tomamos la transformada wavelet podemos sacrificar la precisión de la frecuencia para ganar información temporal. Así que con la transformada wavelet realizada en el semáforo en funcionamiento podemos ver
Esto nos diría que no sólo el semáforo puede mostrar tanto la luz roja como la verde, sino que al menos en torno a la 1 el semáforo funciona correctamente y sólo muestra una luz.
Muchas gracias Willie Wong. El ejemplo de la señal de tráfico fue muy útil para entender el significado físico.
El principio de incertidumbre es esencialmente anterior a Heisenberg. Él "sólo" puso un límite práctico (es decir, físico) al valor en el mundo real. (Existe un problema de "calibración" similar entre la información y la entropía). Las ondículas, en cierto sentido, funcionan porque están en una escala exponencial, en lugar de lineal, lo que permite mantener acotado su producto anchura-localización (principio de incertidumbre).
Pero con la transformación de Fourier, también se puede tener la información de frecuencia y temporal aplicando la transformación de Fourier en el subconjunto temporal de la señal. Por eso podemos producir el espectro (intensidad frente a frecuencia frente a tiempo) utilizando la FFT. Así que no veo la diferencia.
En términos sencillos: Una transformada de Fourier (FT) le dirá qué frecuencias están presentes en su señal. Una transformada wavelet (WT) le dirá qué frecuencias están presentes y dónde (o a qué escala). Si tuviéramos una señal que cambiara en el tiempo, la FT no nos diría cuándo (tiempo) ha ocurrido esto. También se puede pensar en sustituir la variable temporal por una variable espacial, con una analogía similar.
Una señal de audio $t\mapsto f(t)$ tal y como está grabada en un disco LP está localizada en el tiempo: Te dice la diferencia de presión de aire exacta $\Delta p(t)$ en cada momento $t$ . Pero la mezcla exacta de frecuencias audibles en el momento (o cerca, véase más adelante) $t$ no está disponible.
Si se procesa este LP (que se ejecuta en el tiempo $t$ de $-\infty$ a $\infty$ ) a través de un analizador de Fourier se obtiene la transformada de Fourier $\omega\mapsto \hat f(\omega)$ . Esta nueva función (o gráfico) le indica qué frecuencias estaban presentes con qué intensidades en la música grabada en el LP, pero no le dice en qué momentos, por ejemplo, la nota $C''$ se jugó.
La relación de incertidumbre de Heisenberg nos dice que es imposible tener lo mejor de ambos: No hay tal cosa como un tono definido $\omega$ reproducido durante un intervalo de tiempo arbitrariamente pequeño en torno a una hora determinada $t$ .
(Una partitura musical se acerca a este sueño: Nos dice en qué momento $t$ una nota particular, por ejemplo, C'', debe ser tocada durante un pequeño intervalo de tiempo de duración determinada $\Delta t$ .)
Ahora las ondículas son "sonidos" especiales que se limitan a intervalos de tiempo de longitud $2^{-r}$ , $\ r\in{\mathbb Z}$ y realizar, digamos, $3$ oscilaciones completas en dicho intervalo. Así que, en cierto modo, están aproximadamente localizadas tanto en tiempo como en frecuencia. Pero hay mucho más, por ejemplo, en lo que respecta al manejo numérico del "análisis wavelet" de una señal temporal $f$ . Debería consultar uno de los muchos manuales sobre la teoría de las ondículas, por ejemplo el Introducción a las ondículas y a las transformadas wavelet por C.S. Burrus et al.
La transformada de Fourier suele predominar en la ciencia y la ingeniería (probablemente gracias a la invención de la FFT justo cuando la tecnología digital empezó a crecer), por lo que a menudo pensamos en la "frecuencia" como senos y cosenos sin ser conscientes de ello. Es cierto que en las frecuencias de Fourier (funciones de base cos y sin), la transformada de Fourier es la que contiene sólo la frecuencia y ninguna información de "localización". Al menos en el sentido de que una sola muestra distribuirá la misma energía por todo el espectro de Fourier, independientemente de su posición o tiempo. Ejemplos de señales que son buenas para modelar con FFT son los tonos musicales puros en audio y música y cómo se esperaría modelar una revolución suave de digamos un neumático de coche.
Sin embargo, si hablamos de no armónico o incluso no continuo o frecuencias binarias, como el tictac de un reloj digital, entonces el concepto de frecuencia está más relacionado con el de la Ondícula Haar o tal vez un Transformada de Hadamard . Una función de ondícula de Haar con la "longitud de onda" de un segundo puede "describir" o "codificar" mucho mejor estos eventos de reloj discretos localizados, y la transformada de Hadamard puede captar información más global, como la "frecuencia", de estas señales discontinuas, pero con menos localización.
Responder a esta pregunta plantea otra: ¿qué queremos decir con la palabra "frecuencia"? ¿Qué tipo de frecuencia es importante en este contexto?
Por ejemplo, tomemos la función gaussiana. Esta función es casi cero excepto en alguna vecindad cercana a cero. Por tanto, la función está bien localizada en algún dominio (que es una vecindad cercana al origen). Consideremos ahora una función bien localizada en $L^1$ cuya transformada de Fourier también está localizada. Dicha función se denomina bien localizada en tiempo y frecuencia. De nuevo, la función gaussiana es un ejemplo de este tipo. Espero que el ejemplo sea útil.
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