Demostrar que una secuencia tal que $|a_{n+1} - a_n| \le 2^{-n}$ es Cauchy

Question

Supongamos que los términos de la secuencia de números reales $\{a_n\}$ satisfacer $|a_{n+1} - a_n| \le 2^{-n}$ para todos $n$ . Demostrar que $\{a_n\}$ es Cauchy.

Mi trabajo

Entonces, por la definición de una secuencia de Cauchy, para todo $\varepsilon > 0$ $\exists N$ de modo que para $n,m \ge N$ tenemos $|a_m - a_n| \le \varepsilon$ . Sin embargo, cuestiones como este me hacen entender que el $2^{-n}$ es necesaria para que esta afirmación sea verdadera.

Así que me pregunto cómo apelar a la definición de Cauchy para esta demostración. ¿Pruebo que toda secuencia convergente es, por tanto, Cauchy, y luego intento demostrar la convergencia?

Answer 1

Como ha dicho, quiere demostrar que para cualquier $\epsilon>0$ hay algo de $n_0\in\Bbb N$ tal que $|a_m - a_n|<\epsilon$ siempre que $m, n \ge n_0$ . El truco está en averiguar cómo de grande es un $n_0$ vas a tener que asegurarte de que $|a_m-a_m|<\epsilon$ sin importar la distancia $m$ y $n$ siempre y cuando ambos sean al menos $n_0$ . Bien, supongamos que miramos $|a_m-a_n|$ cuando $m$ y $n$ no son necesariamente consecutivos. No hay nada malo en suponer que $m\le n$ Entonces $k=n-m\ge 0$ y estamos viendo $|a_m-a_{m+k}|$ . Sólo tenemos una idea del tamaño de este número cuando $k=1$ : si $k=1$ , $|a_m-a_{m+k}|\le 2^{-m}$ . Pero también tenemos la desigualdad del triángulo:

$$\begin{align*} |a_m-a_{m+k}|&=|(a_m-a_{m+1})+(a_{m+1}-a_{m+2})+\ldots+(a_{m+k-1}-a_{m+k})|\\ &\le|a_m-a_{m+1}|+|a_{m+1}-a_{m+2}|+\ldots+|a_{m+k-1}-a_{m+k}|\\ &<2^{-m}+2^{-(m+1)}+\ldots+2^{-(m+k-1)}\\ &<\sum_{k\ge m}\frac1{2^k}\\ &=\frac{\frac1{2^m}}{1-\frac12}\\ &=\frac1{2^{m-1}}\;. \end{align*}$$

Así, si $m,n\ge n_0$ automáticamente tenemos $|a_m-a_n|<\dfrac1{2^{m-1}}\le\dfrac1{2^{n_0-1}}$ . Si elegimos $n_0$ lo suficientemente grande como para que $\dfrac1{2^{n_0-1}}\le\epsilon$ estaremos en el negocio. ¿Siempre es posible? Claro: sólo hay que asegurarse de que $2^{n_0-1}\ge\dfrac1\epsilon$ es decir, que $n_0\ge\log_2\dfrac2\epsilon$ ; esto es ciertamente siempre posible.

Answer 2

Pista: Supongamos que $m>n$ entonces $$|a_{m}-a_{n}| = |a_{m}-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+a_{m-2}-a_{m-3}+\cdots+a_{n+1}-a_n|$$ $$ \leq |a_{m}-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+|a_{m-2}-a_{m-3}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n| $$ $$ \leq \sum_{i=n}^{m-1}2^{-n} $$

¿Puede ver cómo proceder?

Answer 3

Sólo necesitamos $|x_{n+1}-x_n|\leq a_n$ donde $a_n$ es una secuencia tal que $\sum_na_n<+\infty$ . De hecho, para $m,n\in\Bbb N$ y denotando $S_N:=\sum_{j=1}^Na_j$ tenemos $$|x_{m+n}-x_n|\leq \left|\sum_{j=m}^{m+n-1}(x_{j+1}-x_j)\right|\leq \sum_{j=m}^{m+n-1}\left|x_{j+1}-x_j\right|\leq |s_{m+n-1}-s_{m-1}|,$$ y concluimos utilizando el hecho de que $\{S_n\}$ es Cauchy. En realidad, la condición es necesaria.