Grupo de orden $pqr$, $p < q < r$ los números primos

Question

Deje $G$ ser un grupo que $|G|=pqr$, $p<q<r$ y $p,q,r$ son números primos. necesito demostrar que:

1. Existe un subgrupo de $H$ tal que $H\unlhd G$$|H|=qr$.

2. $G$ es solucionable.

3. $r$-Subgrupo de Sylow de $G$ es normal.

Sé que la prueba de que $G$ no es un simple grupo, y por eso creo que puedo probar la segunda parte de la pregunta, pero no he podido probar la primera y la tercera partes de la pregunta.

Answer 1

Voy a dar dos maneras de hacer esto. El primero será hacer demostrando primera parte 3, parte 1 y, a continuación, muestra que la parte 2 de la siguiente manera a partir de ellas. La segunda forma en que serán mucho más alta potencia de resultados a mostrar algo mucho más general, y el resultado será entonces un caso especial de esto.

En primer lugar, vamos a necesitar un poco lema que va a facilitar las cosas: Si $H$ es un grupo de orden $st$ $s$ $t$ primos y $s > t$ $H$ tiene un subgrupo normal de orden $s$. De esta manera se sigue directamente de Sylow de teoremas, como el número de $s$-Sylows debe dividir $t$ y ser congruente a $1$ mod $s$ (por lo que es $1$$s>t$).

Ahora, tenemos que utilizar el recuento argumento de que ya se menciona en los comentarios a ver que $G$ tendrá una normal subgrupo de Sylow de al menos uno de los primos que dividen la orden. Si tiene una para $r$, hemos terminado, así que asumir que se tiene un normal $p$- o $q$-subgrupo de Sylow. Llamar a este subgrupo $N$.

Ahora, $G/N$ orden $st$ $s$ $t$ primos y $s>t$ ($s = r$ y bien $t = p$ o $t = q$), por lo que podemos usar el lema a la conclusión de que la $G/N$ tiene un subgrupo normal de orden $s = r$).

Este subgrupo normal de $G/N$ corresponde a un subgrupo normal de $G$ orden $pr$ o $qr$ (dependiendo de si $N$ $p$ - o $q$-subgrupo de Sylow).

Pero ahora podemos usar el lema de nuevo, a la conclusión de que este subgrupo tiene un subgrupo normal de orden $r$.

Para terminar la prueba de la parte 3, se nota que si $P$ es normal que un subgrupo de Sylow de $N$ $N$ es normal en $G$, $P$ es normal en $G$. Esto es porque sabemos que desde $P$ es normal en $N$, es el único subgrupo de orden en $N$, y la conjugación de $P$ por algo de $G$ le dará un subgrupo de $N$ de la misma orden de las $P$ (que por ende debe ser igual a $P$). Si usted ha oído hablar de la característica de los subgrupos, de una manera más sencilla de explicar esto es que cualquier subgrupo de Sylow es de hecho una característica (esto vale para cualquier Sala subgrupo de hecho), y en general, si $M$ es característico en $N$ $N$ es normal en $G$, $M$ es normal en $G$.

Ahora, con la parte 3 demostró, podemos probar la parte 1 con bastante facilidad, ya que tiene un subgrupo normal de orden $r$, se $M$. Ahora, el orden de $G/M$ $pq$ y podemos aplicar el lema para obtener un subgrupo normal de orden $q$, que corresponde a un subgrupo normal de $G$ orden $qr$ como queríamos.

Finalmente, para mostrar la parte 2, ahora tenemos una serie de subgrupos normales tales que los sucesivos cocientes son abelian (de hecho, los sucesivos cocientes de primer orden), lo que demuestra que el grupo es solucionable (de hecho supersolvable).

La más alta potencia enfoque es el siguiente: es un hecho general (que resulta de la combinación de Burnside de transferencia del teorema con el N/C teorema) que si $p$ es el más pequeño de la primer división de la orden de $G$ $p^2$ no divide al orden de $G$ (en realidad, a menos que $p = 2$ $3$ divide al orden del grupo, sólo necesitamos $p^3$ a no divide al orden del grupo), a continuación, $G$ tiene un subgrupo normal cuyo índice es el fin de una $p$-subgrupo de Sylow de $G$ (normal $p$-complemento).

Podemos entonces aplicar el de arriba para ver que si el orden de $G$ es la plaza libre, por lo $|G| = p_1p_2\cdots p_n$ $p_1>p_2>\cdots > p_n$ todos los $p_i$ de los números primos, a continuación, $G$ tiene una serie de subgrupos normales, de tal manera que las órdenes son $p_1$, $p_1p_2$, $p_1p_2p_3$, y así sucesivamente hasta el $p_1p_2\cdots p_n$ (uno se queda con estos en el orden inverso por primera vez uno de los índice de $p_n$, entonces uno de los índice de $p_{n-1}$ en el subgrupo y así sucesivamente). En particular, esto muestra que un grupo de plaza libre es supersolvable (y por lo tanto solucionable).