Estos dos grupo de teoría declaraciones son "el mismo"?

Question

Deje $G$ ser un grupo y $G'$ su colector subgrupo. Deje $\pi: G\to G/G'$ ser la natural proyección.

Declaración 1: $G/G'$ es el más grande de Abelian cociente de $G$ en el sentido de que si $H\unlhd G$ $G/H$ es Abelian, a continuación,$G'\le H$. Por el contrario, si $G'\le H$, $H\unlhd G$ $G/H$ es Abelian.

Declaración 2: Si $\varphi:G\to A$ es cualquier homomorphism de $G$ en un grupo Abelian $A$, $\varphi$ factores a través de $G'$; es decir, $G'\le \ker{\varphi}$ y hay un homomorphism $\hat{\varphi}:G/G'\to A$ tal que $\varphi(g) = (\hat{\varphi}\circ \pi)(g)$. (Esto es, tenemos una fantasía conmutativo el diagrama).

Esto es de Dummit y Foote, p.169 de la oit, la Proposición 7.

La prueba de (1) es muy sencillo. Sin embargo, los autores afirman que (1) es una reafirmación de (2) en términos de homomorphisms. ¿Alguien puede explicar esto? Porque no es claro para mí. También, si yo quería demostrar (2), de plano, ¿qué debe hacer el mapa de $\hat{\varphi}$? Mi primer pensamiento fue el de definir como $\hat{\varphi}(aG')= \varphi(a)$, pero no creo que esto funciona.

Gracias!

Answer 1

Por el Homomorphism Teorema, cualquier homomorphism $f\colon G\to K$ factores a través de $G/\mathrm{ker}f$, lo que significa que hay un mapa de $\hat{f}\colon G/\mathrm{ker}f \to K$ tal que $ f = \hat{f}\pi$. El mapa es, de hecho,$\hat{f}(g\,\mathrm{ker}f) = f(g)$. Esto se aplica para el caso específico dado en la Instrucción 2.

Edit: De hecho, la Declaración completa 1 no es equivalente a la Instrucción 2, en el sentido de que si se reemplaza $G'$ con un arbitrario subgrupo $M$ $G$ en ambas declaraciones, luego de la Declaración 1 caracteriza $G'$, pero la Declaración de 2 no. Es decir, si usted tiene

• Declaración de la 1': Si $H\triangleleft G$ $G/H$ es abelian, a continuación,$M\subseteq H$; y si $M\subseteq H$, $H\triangleleft G$ $G/H$ es abelian.

• Declaración de la 2': Si $\varphi\colon G\to A$ es cualquier homomorphism de $G$ en un grupo abelian $A$, $\varphi$ factores a través de $M$; es decir, $M\subseteq \ker\varphi$ y hay un homomorphism $\hat{\varphi}\colon G/M\to A$ tal que $\varphi(g) = \hat{\varphi}\circ\pi(g)$.

El único subgrupo $M$ $G$ que satisface Declaración de la 1' se $M=G'$. Sin embargo, cualquier subgrupo de $G'$ eso es normal en $G$ va a satisfacer Instrucción 2'.

De hecho, el estado 2 es equivalente a la primera cláusula de la Instrucción 1, es decir, que si $H\triangleleft G$ $G/H$ es abelian, a continuación,$G'\subseteq H$, además de los implícita la afirmación de que el $G'$ sí es normal en $G$.

Suponiendo que la primera cláusula de la Instrucción 1, más el hecho de que $G'\triangleleft G$ si $\varphi\colon G\to A$ es un homomorphism, luego por la Homomorphism Teorema, dejando $H=\ker\varphi$, $G/H$ es (isomorfo a) un subgrupo de $A$, por lo tanto abelian, por lo que debemos tener $G'\subseteq H = \mathrm{ker}\varphi$; es la Declaración de 2 (con la cláusula final de 2 dada por el homomorphism teorema anterior).

Suponiendo que la Instrucción 2, (que implícitamente se afirma que $G'$ es normal) supongamos que $H$ es un subgrupo normal de $G$ tal que $G/H$ es abelian. Considerando entonces $\pi\colon G\to G/H$ y la aplicación de 2, a la conclusión de que $G'\subseteq \mathrm{ker}\pi = H$. Y la normalidad de $G'$ sigue desde la declaración de la 2, que lo requiere.

Es decir, ellos no son del todo equivalentes, porque Instrucción 1 tiene otra cláusula, a saber, "por el Contrario..." cláusula, que no es una consecuencia de asumir la Instrucción 2. Pero la primera parte de la Declaración 1 (plus "$G'\triangleleft G$") es equivalente a la Instrucción 2.

Agregó: ver que los dos no son equivalentes, como se ha dicho, permítanme darles un ejemplo de un subgrupo de $M$ $G$ que satisface Instrucción 2', pero no Declaración de la 1': considere el caso de $G=S_4$; a continuación,$G' = A_4$. Ahora vamos a $M = \{ 1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)\}$. A continuación,$M\triangleleft G$, y la declaración en el 2 tiene por $M$: dado cualquier homomorphism $f\colon G\to A$ $A$ abelian, el mapa de $f$ factores a través de $G/M$ y existe un homomorphism $\hat{f}\colon G/M\to A$ tal que $f=\hat{f}\pi$. Sin embargo, $M$ no es el colector de un subgrupo de $G$. Lo que falta en la Declaración 2 para que sea un verdadero equivalente de Instrucción 1 es una declaración que corresponde a la afirmación de que $G/G'$ es en sí abelian, que es lo que sigue de la "a la Inversa..." cláusula de Declaración 1. Una manera de hacerlo es simplemente que $G/G'$ es en sí mismo abelian. Otra es considerar la intersección de todos los núcleos de todos los homomorphisms en abelian grupos, y decir que $G'$ debe ser igual a la intersección.

Answer 2

Su idea para (2) exactamente funciona. Cualquiera de los dos representantes de la $a$, $b$ con $aG' = bG'$ estarán relacionados con un elemento $g' \in G'$$ag' = b$. Luego, debido a que $G'$ es un subconjunto del núcleo de $\varphi$, $$\varphi(b) = \varphi(ag') = \varphi(a)\varphi(g') = \varphi(a).$$

Esto realmente es una reafirmación de que el primer teorema de isomorfismo para grupos a un "primer homomorphism teorema de grupos", por así decirlo. El isomorfismo teorema dice que el mapa de $\theta: G \to A$ con kernel $K$ será un factor a través del cociente mapa de $G \to G/K$ --- pero en realidad para cualquier subgrupo $N$ $K$ $N$ normal en $G$ le dará un mapa de $G \to G / N$ por la misma fórmula descrita anteriormente.

En tu caso concreto, cuando el objetivo es abelian, el núcleo necesariamente contiene el colector subgrupo $G'$$G$, y por lo que usar la "primera homomorphism teorema" para obtener su mapa de $\hat\varphi: G / G' \to A$.

Que el primer teorema de isomorfismo puede ser debilitado de esta manera significa que, mientras que el primer teorema de isomorfismo solo se relaciona surjective mapas fuera de $G$ a la normalidad subgrupos de $G$, el debilitamiento dice que las inclusiones $N_1 \subseteq N_2$ de lo normal subgrupos de $G$ también se refleja en el nivel de homomorphisms.

Espero que esto ayude!