Otra Serie $\sum\limits_{k=2}^\infty \frac{\log(k)}{k}\sin(2k \mu \pi)$

Question

Corrí a través de una interesante serie en un papel escrito por J. W. L. Glaisher. Glaisher menciona que es conocida la fórmula, pero no indica cómo se pueden derivar.

Creo que es difícil.

$$\sum_{k=2}^\infty \frac{\log(k)}{k}\sin(2k \mu \pi) = \pi \left(\log(\Gamma(\mu)) +\frac{1}{2}\log \sin(\pi \mu)-(1-\mu)\log(\pi)- \left(\frac{1}{2}-\mu\right)(\gamma+\log 2)\right)$$

Puede alguien sugerir un método de ataque?

$\gamma$ es el de Euler-Mascheroni Constante.

Gracias!

Answer 1

Basta con hacer estas integrales: $$ \begin{align} \int_0^1 \log(\Gamma(s))\;ds &= \frac{\log(2\pi)}{2} \tag{1a}\\ \int_0^1 \log(\Gamma(s))\;\cos(2k \pi s)\;ds &= \frac{1}{4k},\qquad k \ge 1 \tag{1b}\\ \int_0^1 \log(\Gamma(s))\;\sin(2k \pi s)\;ds &= \frac{\gamma+\log(2k\pi)}{2k\pi},\qquad k \ge 1 \tag{1c} \\ \int_0^1 \frac{\log(\sin(\pi s))}{2}\;ds &= \frac{-\log 2}{2} \tag{2a} \\ \int_0^1 \frac{\log(\sin(\pi s))}{2}\;\cos(2k \pi s)\;ds &= \frac{-1}{4k},\qquad k \ge 1 \tag{2b} \\ \int_0^1 \frac{\log(\sin(\pi s))}{2}\;\sin(2k \pi s)\;ds &= 0,\qquad k \ge 1 \tag{2c} \\ \int_0^1 1 \;ds &= 1 \tag{3a} \\ \int_0^1 1 \cdot \cos(2k \pi s)\;ds &= 0,\qquad k \ge 1 \tag{3b} \\ \int_0^1 1 \cdot \sin(2k \pi s)\;ds &= 0,\qquad k \ge 1 \tag{3c} \\ \int_0^1 s \;ds &= \frac{1}{2} \tag{4a} \\ \int_0^1 s \cdot \cos(2k \pi s)\;ds &= 0,\qquad k \ge 1 \tag{4b} \\ \int_0^1 s \cdot \sin(2k \pi s)\;ds &= \frac{-1}{2k\pi},\qquad k \ge 1 \tag{4c} \end{align} $$ A continuación, para $f(s) = \pi \left(\log(\Gamma(s)) +\frac{1}{2}\log \sin(\pi s)-(1-s)\log(\pi)- \left(\frac{1}{2}-s\right)(\gamma+\log 2)\right)$, obtenemos $$ \begin{align} \int_0^1 f(s)\;ds &= 0 \\ 2\int_0^1f(s) \cos(2k\pi s)\;\;ds &= 0,\qquad k \ge 1 \\ 2\int_0^1f(s) \sin(2k\pi s)\;\;ds &= \frac{\log k}{k},\qquad k \ge 1 \end{align} $$ y la fórmula sigue como una serie de Fourier: $$ f(s) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\log k}{k}\;\sin(2 k\pi s),\qquad 0 < s < 1. $$

referencia

Gradshteyn & Ryzhik, Tabla de Integrales de la Serie y de los Productos

(1a) 6.441.2
(1b) 6.443.3
(1c) 6.443.1
(2a) 4.384.3
(2b) 4.384.3
(2c) 4.384.1