Basic conjunto Abierto de la pregunta

Question

En $\mathbb{R}^2$, si tengo un conjunto abierto, llame a $U$, y un punto de $u_0\in U$. Es el conjunto $U^{'} = U - \{ u_0 \}$ también está abierto? O tal vez no es abierto y no cerrado?

Mi intuición es que todavía permanece abierta, pero no estoy seguro sobre cómo formalizar esta. Es suficiente si digo que ya que por cada $u\in U$ existe una vecindad $V_u$ tal que $V_u\subseteq U$, por lo que también es cierto para cada uno de los $u\in U- \{u_0 \}$, haciendo de $U^{'}$ abierto así? No estoy seguro si esto es formal suficiente (o tal vez me he perdido algo y lo que está mal)

Y suponiendo que esto es correcto, ¿se puede quitar más de un punto? es decir, eliminar cualquier $u_0,...,u_n$ $U$ y todavía se siguen un conjunto abierto?

Gracias!

Answer 1

Sí, cualquier singleton set $\{u_a\}$ es cerrado en $\mathbb{R}^n$ (en el estándar de la topología), por lo que su complementar $\mathbb{R}^n - \{u_a\}$ está abierto.

Así, en su configuración, $$U - \{u_0\} = U \cap (\mathbb{R}^2 - \{u_0\})$$ es un punto de intersección de dos conjuntos y por lo tanto es abierto.

Como usted sugiere, el mismo funciona si eliminamos cualquier número finito de puntos de $u_a$$U$.

Answer 2

Para su argumento para el trabajo que usted necesita para mostrar que los vecindarios $V_u$ no contienen $u_0$. Si usted sabe que $\mathbb R^2$ es Hausdorff, entonces usted puede modificar la forma en que usted eligió sus barrios y, a continuación, la prueba debe trabajar. Por inducción, a continuación, puede quitar un número finito de puntos de $U$ y todavía tiene un conjunto abierto.

Usted no necesita toda la fuerza de la Hausdorff condición, sin embargo: $\mathrm T_1$ espacio sería suficiente.

Answer 3

Sigue abierto porque un punto es cerrado. Así, en términos formales: El complemento de un punto es abierto y un conjunto abierto, sin un punto es el mismo que el interesction de su conjunto y el complemento del punto de