Los axiomas de Wightman no son más que las características generales reconocidas como comunes en la práctica de la teoría cuántica de campos relativista. Incluso un practicante utiliza los axiomas de Wightman todo el tiempo, aunque no se preocupe por el rigor matemático y tienda a ocultar este hecho. Sin embargo, está claro que usted pregunta por la teoría cuántica de campos algebraica.
El objetivo principal de la AQFT es formalizar las propiedades de los campos cuánticos. En sentido estricto, esta tarea no pertenece al ámbito de la física, sino al de la física matemática. Es costumbre de los físicos ignorar los detalles matemáticos cuando están manejando una teoría que funciona pero está mal definida, un ejemplo es el planteamiento de la función delta de Dirac (en realidad, una distribución) y su uso en aplicaciones mucho antes de la invención de las funciones generalizadas por Sobolev y Schwartz. Por lo tanto, un físico no está interesado en estudiar un sistema de axiomas y sus consecuencias; todo lo que necesita es un sistema de reglas gracias a la cual es capaz de realizar cálculos reales. La palabra "regla" significa una prescripción estándar que en situaciones peculiares puede ser modificada o descuidada, cuando sea útil. Por supuesto, cuando es posible, a menudo es conveniente aprovechar un marco matemático pulido para hacer cálculos.
Los matemáticos no pueden aceptar tal estado de cosas, por lo que se ocupan de los fundamentos, los problemas de existencia, etc. Esto es parte de su trabajo y tiene su propio valor, incluso en el caso de que los físicos no lo exploten. Sin embargo, a veces ocurre que el rigor matemático, las definiciones cuidadosas y todo tipo de complicaciones matemáticas son necesidades físicas . En el caso de la QFT esto surge cuando se considera la mensurabilidad en principio del campo electromagnético. Bohr y Rosenfeld pronto se dieron cuenta de que los campos cuánticos tienen que ser distribuciones valoradas por operadores, para que tengan sentido como representantes de cantidades físicas. Dado que este hecho afecta a la mensurabilidad, se convierte en un problema físico. Así que los físicos no pueden ignorar la complicada naturaleza de estos objetos, sino que intentan convivir con ella y, de hecho, se han concebido todo tipo de recetas elaboradas para escapar de tan difícil coexistencia.
Sin embargo, hubo (y en parte, hay) una comunidad activa que trató de afrontar estos problemas formales, generados por razones físicas y estimulados por el afán de un tratamiento lógico integral de la materia. Grandes nombres de esta comunidad son los del propio Wightman, Rudolf Haag, Araki, Borchers, Sergio Doplicher, Robert Powers, Fredenhaghen, Daniel Kastler, Buchholz, Ostenwaald, Baumann, etc. Se han fundamentado muchos resultados generales y se han resuelto un buen número de paradojas de la QFT gracias a este tratamiento más cuidadoso. Entre ellas (a grandes rasgos):
- la existencia de los campos libres;
- el teorema PCT;
- el protagonismo del Principio de Localidad;
- conexiones generales entre el giro y la estática;
- una forma débil de un teorema de Noether para campos cuánticos;
- formas generales para el teorema de Goldstone;
- las relaciones entre campos, observables y grupos gauge;
- cualquier grupo compacto es un grupo gauge;
- el teorema de Reeh-Schlieder (informalmente, densidad de estados generada por la acción de los observables locales sobre el vacío en el espacio de Hilbert de la teoría)
y así sucesivamente. Resumiendo, se ha obtenido una buena cantidad de resultados. Por supuesto, esto no es toda la historia: faltan muchas otras cosas, en primer lugar nadie sabe si los campos de interacción existen en un sentido riguroso. Una teoría sin interacción no puede ser física, por lo que la AQFT siempre es considerada como una especie de rareza por los físicos. Sin embargo, el desarrollo de la AQFT ha estimulado muchos otros campos de investigación, tanto en matemáticas como en física. Hoy en día, la tendencia ha cambiado y sobrevive un pequeño fervor en torno a estos temas. Las personas que trabajaron en el campo en el pasado suelen seguir contribuyendo, pero un número menor de nuevos investigadores se une a este camino, siendo atraídos en otras áreas, como la Gravedad Cuántica, las cuerdas, la física de partículas, la fenomenología, etc.