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¿Alguien se toma en serio los axiomas de Wightman?

¿Alguien toma la Axiomas de Wightman ¿en serio? ¿Principalmente con respecto a la gravedad cuántica o a las teorías gauge, abelianas o no abelianas? ¿Alguien está investigando sobre la axiomatización de las QFT de alguna manera?

40voto

Sandeep Puntos 111

La pregunta suena como la siguiente a un físico clásico: ¿Alguien se toma en serio la mecánica lagrangiana?

Los axiomas de Wightman describen la qft como debería ser dentro de un determinado paradigma, asumiendo que algunas dificultades fundamentales que afectan a la qft perturbativa pueden ser resueltas de alguna manera (pero sin sugerir ninguna solución). Simplemente presenta la teoría final, es decir, la que incluye las interacciones, tal y como debería ser desde ese punto de vista. Sin embargo, no hay garantía de que sea una imagen correcta y completa del mundo. En particular, porque las dificultades mencionadas podrían ser una pista, y probablemente lo son, de una nueva física como la teoría de cuerdas u otras estructuras relevantes a muy alta energía o a escalas muy pequeñas. Además, la descripción de las teorías gauge dentro de la formulación de Wigthman no es en absoluto sencilla. Sin embargo, este enfoque es un marco matemáticamente sólido en el que se han construido rigurosamente pruebas de afirmaciones físicamente fundamentales de la qft. Me refiero, por ejemplo, al teorema de la estadística del espín, al teorema del cpt, etc. Sin embargo, esto no significa que estos resultados no surjan de otras formulaciones basadas en una física diferente. Creo que los axiomas de Wightman pueden considerarse como mecánica lagrangiana con respecto a la física clásica "real". La formulación lagrangiana es un modelo en el que se pueden analizar algunas relaciones importantes entre nociones cruciales, pienso en la interacción entre cantidades conservadas y simetrías, por ejemplo. Por otro lado, está claro que la formulación lagrangiana es demasiado ingenua desde el punto de vista físico, ya que, por ejemplo, no considera adecuadamente las fuerzas debidas a la fricción que revelan la existencia de otro nivel de realidad (me refiero a la termodinámica y a la física microscópica... Supone que los objetos físicos son representados por la geometría diferencial sin tener en cuenta las estructuras microfísicas discretas...). El núcleo de la formulación de Garding Wightman Streater ha producido otras formulaciones de qft que insisten en la noción de campo local. Un libro de texto sobre esas ideas es el de Haag. Estas ideas se han implementado para desarrollar la qft en el espaciotiempo curvo, con aplicación a la física de los agujeros negros en particular y, recientemente, a la cosmología. Yo pertenezco a esa comunidad de físicos matemáticos. El procedimiento renormalizado uv ha sido completamente reformulado en el espaciotiempo curvo en un marco generalmente covariante sin asumir la existencia de un vacío preferido en vista de la ausencia de la simetría de Poincare.

7voto

Federico Puntos 450

Los axiomas de Wightman no son más que las características generales reconocidas como comunes en la práctica de la teoría cuántica de campos relativista. Incluso un practicante utiliza los axiomas de Wightman todo el tiempo, aunque no se preocupe por el rigor matemático y tienda a ocultar este hecho. Sin embargo, está claro que usted pregunta por la teoría cuántica de campos algebraica.

El objetivo principal de la AQFT es formalizar las propiedades de los campos cuánticos. En sentido estricto, esta tarea no pertenece al ámbito de la física, sino al de la física matemática. Es costumbre de los físicos ignorar los detalles matemáticos cuando están manejando una teoría que funciona pero está mal definida, un ejemplo es el planteamiento de la función delta de Dirac (en realidad, una distribución) y su uso en aplicaciones mucho antes de la invención de las funciones generalizadas por Sobolev y Schwartz. Por lo tanto, un físico no está interesado en estudiar un sistema de axiomas y sus consecuencias; todo lo que necesita es un sistema de reglas gracias a la cual es capaz de realizar cálculos reales. La palabra "regla" significa una prescripción estándar que en situaciones peculiares puede ser modificada o descuidada, cuando sea útil. Por supuesto, cuando es posible, a menudo es conveniente aprovechar un marco matemático pulido para hacer cálculos.

Los matemáticos no pueden aceptar tal estado de cosas, por lo que se ocupan de los fundamentos, los problemas de existencia, etc. Esto es parte de su trabajo y tiene su propio valor, incluso en el caso de que los físicos no lo exploten. Sin embargo, a veces ocurre que el rigor matemático, las definiciones cuidadosas y todo tipo de complicaciones matemáticas son necesidades físicas . En el caso de la QFT esto surge cuando se considera la mensurabilidad en principio del campo electromagnético. Bohr y Rosenfeld pronto se dieron cuenta de que los campos cuánticos tienen que ser distribuciones valoradas por operadores, para que tengan sentido como representantes de cantidades físicas. Dado que este hecho afecta a la mensurabilidad, se convierte en un problema físico. Así que los físicos no pueden ignorar la complicada naturaleza de estos objetos, sino que intentan convivir con ella y, de hecho, se han concebido todo tipo de recetas elaboradas para escapar de tan difícil coexistencia.

Sin embargo, hubo (y en parte, hay) una comunidad activa que trató de afrontar estos problemas formales, generados por razones físicas y estimulados por el afán de un tratamiento lógico integral de la materia. Grandes nombres de esta comunidad son los del propio Wightman, Rudolf Haag, Araki, Borchers, Sergio Doplicher, Robert Powers, Fredenhaghen, Daniel Kastler, Buchholz, Ostenwaald, Baumann, etc. Se han fundamentado muchos resultados generales y se han resuelto un buen número de paradojas de la QFT gracias a este tratamiento más cuidadoso. Entre ellas (a grandes rasgos):

  • la existencia de los campos libres;
  • el teorema PCT;
  • el protagonismo del Principio de Localidad;
  • conexiones generales entre el giro y la estática;
  • una forma débil de un teorema de Noether para campos cuánticos;
  • formas generales para el teorema de Goldstone;
  • las relaciones entre campos, observables y grupos gauge;
  • cualquier grupo compacto es un grupo gauge;
  • el teorema de Reeh-Schlieder (informalmente, densidad de estados generada por la acción de los observables locales sobre el vacío en el espacio de Hilbert de la teoría)

y así sucesivamente. Resumiendo, se ha obtenido una buena cantidad de resultados. Por supuesto, esto no es toda la historia: faltan muchas otras cosas, en primer lugar nadie sabe si los campos de interacción existen en un sentido riguroso. Una teoría sin interacción no puede ser física, por lo que la AQFT siempre es considerada como una especie de rareza por los físicos. Sin embargo, el desarrollo de la AQFT ha estimulado muchos otros campos de investigación, tanto en matemáticas como en física. Hoy en día, la tendencia ha cambiado y sobrevive un pequeño fervor en torno a estos temas. Las personas que trabajaron en el campo en el pasado suelen seguir contribuyendo, pero un número menor de nuevos investigadores se une a este camino, siendo atraídos en otras áreas, como la Gravedad Cuántica, las cuerdas, la física de partículas, la fenomenología, etc.

4voto

Eywa Puntos 41

Soy plenamente consciente de que la cuestión de si alguien se toma o no en serio los axiomas de Wightman (y Gårding) ha sido respondida hace muchos años desde diferentes perspectivas.

Sin embargo, me gustaría reforzar aquí una perspectiva, a saber, que los axiomas no deberían entenderse como axiomas en el sentido de primeros principios o tener el mismo estatus que, por ejemplo, el principio de relatividad y el principio de la propagación de las señales luminosas en el vacío. Más bien, los "axiomas" de Wightman son un punto de partida para posteriores investigaciones de la QFT cuando el escenario de fondo para los campos es plano o curvo y, por lo tanto, los "axiomas" tienen más bien el estatus de una base que todavía es un trabajo en progreso y, por lo tanto, donde los aspectos técnicos están sujetos a cambios. Este punto de vista ha sido muy útil para los profesionales (entre los que me incluyo) que, sobre la base de estos "axiomas" de fundamento, han sido capaces de proporcionar una visión profunda a muchas preguntas fascinantes. Una de ellas es si una civilización tecnológicamente avanzada sería capaz de fabricar una máquina del tiempo. Aquí existen tanto un teorema general de no-go, como ejemplos y extensiones en los que se estudian los campos cuánticos en espacios-tiempo curvos y planos de la máquina del tiempo, y todos esos resultados se apoyan en la herencia de Wightman y Gårding. Este punto de vista también es evidente en la obra de Haag, 1992, "Local Quantum Physics", Springer, donde comenta en relación con los "axiomas": "la palabra "axioma" sugiere algo fijo, inmutable. Esto no es lo que se pretende aquí. De hecho, algunos de los supuestos son más bien técnicos y deberían ser sustituidos por otros más naturales a medida que se adquiera una visión más profunda".

1voto

nponeccop Puntos 183

Ha escuchado la opinión de un físico matemático, es decir, de una persona que trabaja en un departamento de matemáticas y emprendimientos en la física, a saber, V.M. Aquí está mi opinión de dos centavos como físico. En una de sus famosas conferencias (ver Deser vol. II), recuerda Rudolf Haag: "Me informaron de la siguiente historia. Hace unos años, Klaus Hepp dio algunas conferencias en la escuela de verano de Brandeis. En algún momento alabó la belleza de la teoría axiomática de campos. Al día siguiente encontró la nota en la pizarra: "Axioma 1: La teoría axiomática de campos es bella de una manera vacía"".

Seguramente, para los matemáticos es un pan comido, ya que continuamente reformulan lo que los físicos les han dado como intuición física de formas cada vez más abstractas. Sin embargo, comparar la teoría lagrangiana de la física clásica con los axiomas de Wightman y decir que están al mismo nivel es una gran es una gran exageración. En efecto, en la mecánica lagrangiana existe un principio de evolución dinámica, mientras que en los axiomas de Wightman no hay ninguno. Para ver lo grave de la situación, es como tener todas las leyes de Newton SIN LA SEGUNDA, es decir, F=MA. O, si uno se pone cuántico, es como tener todos los postulados de la QM no relativista sin la ecuación de Schrodinger o las ecuaciones de movimiento de Heisenberg. Todo lo que se puede calcular es, obviamente, sólo problemas estáticos, como los célebres teoremas de espín-estadística y cpt en AQFT.

Además, hablar de que las fuerzas de fricción no están "cubiertas" por la mecánica lagrangiana o la termodinámica es una cháchara matemática. PARA EMPEZAR, NO HAY FUERZAS DE FRICCIÓN FUNDAMENTALES. Todo lo que hay es una dinámica disipativa para un sistema dado en interacción con algún otro sistema. Si tomas los dos combinados ¡todo se conserva! La fricción y la termodinámica son teorías fenomenológicas, no fundamentales. Tome un problema de "fricción" por ejemplo. Toda interacción es electromagnética en esencia entre 2 cuerpos que se deslizan uno contra el otro, y realmente se puede llegar a un modelo microscópico BASADO EN LA TEORÍA LAGRANGiana y compararlo con el experimento.

Volviendo a la AQFT, además de los problemas estáticos, realmente no se puede calcular nada. Ningún número que se pueda comparar con el experimento. Incluso la descripción de la dispersión en la célebre teoría de la dispersión de Haag-Ruelle NO ESTÁ TOTALMENTE FORMULADA EN EL CUADRO DE HEISENBERG de AQFT, y AQFT es notoria por afirmar que utiliza una descripción totalmente dentro del cuadro de Heiseinberg.

Por supuesto, depende enteramente de quién sea uno de los dos puntos de vista que elija: el del físico Rudolf Haag o el de una persona del departamento de matemáticas como el de V.M. ...

3 votos

Creo que el hecho de que escribas con todas las mayúsculas, y la forma en que has enfocado esta respuesta como una respuesta a una persona específica, puede explicar algunos de los downvotes que estás recibiendo. Probablemente obtendrías una mejor respuesta si esos factores no existieran.

2 votos

@Andrea Becker Estimado OP, no soy matemático, soy físico, mi maestría y mi doctorado son en Física teórica. En mi país los puestos de física matemática están en departamentos de matemáticas pero se nombran tanto a físicos como a matemáticos. Pertenezco a la misma comunidad científica de Rudolf Haag, a quien he conocido personalmente varias veces. Me parece bastante ofensivo que me imagine como un "matemático que se aventura en la física". Le ruego que retire estos comentarios sobre mí.

0 votos

@David Z He pedido a Andrea Becker que elimine los comentarios sobre mí.

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