Calcular todas entero de soluciones de $(x,y,z)\in\mathbb{Z}^3$ de la ecuación de $x^2+y^2+z^2 = 2xyz$.
Mi Intento:
Vamos a calcular el $x,y,z>0$. Luego, con el AM-GM de la Desigualdad, tenemos
$$ \begin{cases} x^2+y^2\geq 2xy\\ y^2+z^2\geq 2yz\\ z^2+x^2\geq 2zx\\ \end{casos} $$
Por lo $x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$. Cómo puedo solucionar para $(x,y,z)$ después de esto?
Supongamos que $(x,y,z)$ es una solución. Un número de estos debe ser impar. Si dos son impares, decir $x$$y$, $x^2+y^2$ forma $4k+2$, y por lo tanto también lo hace $x^2+y^2+z^2$, ya que el $z^2$ es divisible por $4$. Pero $2xyz$ forma $4k$.
Por lo $x,y,z$ son todos incluso, decir $2u,2v,2w$. Sustituyendo obtenemos $u^2+v^2+w^2=4uvw$.
De nuevo, $u,v,w$ deben ser todas iguales.
Continuar para siempre. Llegamos a la conclusión de que $x$, $y$, y $z$ son divisibles por cada poder de la $2$.
De ello se desprende que $x=y=z=0$.
Comentario: El mismo argumento se puede utilizar para $x^2+y^2+z^2=2axyz$.
Este es un ejemplo de Fermat Método de Descenso Infinito, también conocido como inducción.
Otro método:
Es claro que el cero es una solución y, además,$xyz\ge0$. Vamos a demostrar que no hay más soluciones a través de los números enteros. Por la generalización de la media teorema:
$$\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}}>\sqrt[3]{xyz}$$ Lo que conduce a: $$x^2+y^2+z^2 > 3(xyz)^{2/3}$$ Así que ahora sabemos que siempre que $3(xyz)^{2/3} > 2xyz$ no hay soluciones. Simple álgebra demuestra que esto es cierto siempre que $xyz> 27/8$, por lo que la única posible entero soluciones son: $$(0,0,0), (0,a,b), (1, 1, 2), (1, 1, 3)$$ Y sus permutaciones / signo de los cambios. Ahora compruebe estos no satisfacen la ecuación.
$\blacksquare$
No hay soluciones. La ecuación original, considerado por Markov, se $$ x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz. $$ Esto conduce a la Markov Números.
Adolf Hurwitz, considerados como tales ecuaciones con tres o más variables, en 1907. El mismo procedimiento de reducción como de Markov se lleva a ninguna solución a una solución más pequeña, hasta que se llega a una solución fundamental (grundlosung). No hay ninguna solución fundamental con $x^2 + y^2 + z^2 = 2 xyz,$ y no hay soluciones.
En caso de interés, ver http://mathoverflow.net/questions/84927/conjecture-on-markov-hurwitz-diophantine-equation
Vamos a ver, hay un árbol con $x^2 + y^2 + z^2 = xyz,$, pero las soluciones no son primitivos, la solución fundamental es $(3,3,3)$ todos los $(x,y,z)$ siempre divisible por $3.$
Hay más diversidad a medida que el número de variables aumenta. la primera vez que tenemos más de una solución fundamental para que una de estas ecuaciones es en $14$ variables, con $$ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + \cdots + x_{12}^2 + x_{13}^2 + x_{14}^2 = x_1 x_2 x_3 \cdots x_{12} x_{13} x_{14}, $$ que tiene dos soluciones fundamentales y, por tanto, dos árboles de soluciones, $$ (3,3,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1), $$ $$ (6,4,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1). $$ Una colección de árboles es (realmente) a que se refiere como un bosque.
El movimiento dentro de un árbol se logra por algo que se llama generalmente Vieta Saltar en este sitio.
Ver una tabla de las soluciones fundamentales a a $14$ variables en http://mathoverflow.net/questions/142301/a-problem-on-a-specific-integer-partition/142514#142514 donde poner los números en orden ascendente en lugar de disminuir.
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