Deje que d$(x,y)$ ser la secuencia de decimales de pi de la x:th uno para el y:th.
Mi pregunta: ¿existe un número $n$ tales que d$(1,n)$ = d$(n+1, 2n)$? I. e., ¿π empezar con dos idénticos decimal secuencias, dado un nivel suficientemente alto de $n$?
Por ejemplo, supongamos que π = 3.1415914159243234..., a continuación, $n$ = 5 satisfaga la condición anterior.
Este es un tipo muy cool pregunta! Y la respuesta es: casi seguro que no, pero tal vez.
En primer lugar, permítanme explicar por qué es posible. Hemos calculado unos 13 billones de dígitos de pi hasta ahora, es decir, que no saben nada acerca de los dígitos después de eso. Esto significa los dígitos de inmediato siguiente al último que hemos calculado podría muy bien ser 1415926... etc. Las posibilidades de que el próximo 13 billones de dígitos son el equivalente a los primeros 13 billones son muy escasas: $(\frac{1}{10})^{\text{13 trillion}}$. Super raro, pero posible!
Sin embargo, ese no es el único caso que podría hacer pi empezar con dos idénticos decimal secuencias; la repetición podría empezar en cualquier lugar, así que tenemos que la suma de todos los casos posibles. Primero, vamos a asumir que no sabemos nada acerca de la expansión decimal de pi (Por lo que sabemos, tal vez se repite después de que el primer dígito [es decir, 3.114...]). La probabilidad de una repetición después de la $n^{\text{th}}$ dígito es $(\frac{1}{10})^{n}$, ya que los cambios de cada una de las $n$ dígitos coincidentes es $(1/10)$. Así, la probabilidad de que esto es cierto para algunos de valor de $n$ sería: $$ \sum_{i=1}^{\infty}{\bigg(\frac{1}{10}\bigg)^i} = \frac{1}{9} $$
Eso me parece una muy buena oportunidad! Y esa sería la probabilidad de que un número escogido al azar de una distribución uniforme como $[0,1]$ comenzaría con dos secuencias idénticas.
Sin embargo, con pi, SABEMOS que no se inicia con 3.11, o 3.1414, o 3.141141, por lo que elimina una gran parte de esa probabilidad. Pero entonces la pregunta es, ¿cuántos dígitos cómo sabemos esto? Sabemos que el primer millón de dígitos no igual a la segunda millones? ¿Qué acerca de la primera y segunda millones, o billones de dólares, o (13 billones de dólares)/2? Sinceramente, no sé qué tipo de análisis que la gente que hizo los cálculos masivos estaban haciendo en los dígitos que se encuentra, pero supongamos que sabemos que en los primeros 13 billones de dígitos, no hay secuencias de repetición que empezar por el principio. Esto iba a cambiar nuestra probabilidad fórmula para $$ \sum_{i=6.5 \text{ billones}}^{\infty}{\bigg(\frac{1}{10}\bigg)^i} $$
Que es aproximadamente igual a $\frac{1}{6.5 \text{ trillion}}$, o alrededor de $10^{-10^{12}}$.
Por lo tanto, la respuesta a tu pregunta es que es posible que la pi se inicia con dos idénticos decimal de las secuencias, pero es extremadamente raro.
Vale la pena señalar que este tipo de problema no es necesariamente totalmente intratable, incluso si la respuesta es negativa. Dado el estado actual del conocimiento matemático, creo que no podríamos saber si $\pi$ comienza con $2$ idénticos decimal de las secuencias, pero sin duda podría saber si se inicia con $8$.
¿Por qué es esto? Debido a la irracionalidad de la medida de $\pi$ es de menos de $8$: es decir, hay sólo un número finito $a$ $b$ tal que $$ \left|\pi \frac{a}{b}\right| < \frac{1}{b^8}\etiqueta{1} $$ Sin embargo, si $\pi$'s decimal expansión se inicia con ocho secuencias idénticas, decir $\pi=3.xxxxxxxx\dots$, luego $$ \left|\pi \left(3 + \frac{x}{10^{|x|}-1}\right)\right|<\frac{1}{10^{8|x|}} < \frac{1}{(10^{|x|}-1)^8} $$ debido a que ambos comparten el primer $8|x|$ dígitos decimales. Así que esto sólo podía ocurrir si $\left(3 + \frac{x}{10^{|x|}-1}\right)$ es uno de esos un número finito de $\frac{a}{b}$ que satisfacer $(1)$ - y, presumiblemente, podría ir en la literatura para ver lo grande que las permite ser, y comprobar cada uno de ellos individualmente. Casi sin duda, sabemos lo suficiente dígitos de $\pi$ a descartar esta posibilidad por completo.
En principio, este tipo de enfoque puede mostrar que un número irracional no comienza con $3$ idénticos decimal secuencias, como usted puede demostrar que su irracionalidad medida es estrictamente menor que $3$. Por ejemplo, todos los números algebraicos, así como a $e$ han irracionalidad de medida $2$, por lo que cualquier algebraica de números (o $e$) sólo puede comenzar con $3$ idénticos decimal secuencias en un número finito de maneras, y que, en principio, podría comprobar todas ellas. Si alguien se las arregló para mejorar significativamente la conocida límite superior sobre la irracionalidad de la medida de $\pi$, que podría llegar a ser posible saber si $\pi$ comienza con $3$ idénticos decimal secuencias de esta manera.
Sin embargo, este enfoque no es lo suficientemente bueno para tu pregunta original. De hecho, cualquier número irracional $\tau$ tiene infinidad de aproximaciones racionales $\frac{a}{b}$ tal que $$ \left|\tau\frac{a}{b}\right|<\frac{1}{b^2} $$ y, si había algo de tan buena aproximación con $b$ de la forma $10^k-1$, esto podría conducir a $\tau$ a partir de con $2$ idénticos decimal secuencias. Por lo que una respuesta completa a su pregunta requeriría una mayor participación del argumento, acerca de que tipos de fracciones $\frac{a}{b}$ permitió estar cerca de aproximaciones racionales de $\pi$.
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