¿Pueden $\sqrt{ab}$ y $\sqrt{a^2 + b^2}$ ser ambos números enteros si $a$ y $b$ son números naturales?

Question

¿Existe un $a \in \mathbb{N}$ y $b \in \mathbb{N}$ tal que $\sqrt{ab} \in \mathbb{Z}$ y $\sqrt{a^2 + b^2} \in \mathbb{Z}$?

Answer 1

No, pero es bastante elaborado. Si hay una solución con enteros positivos, todavía es una solución si dividimos por el máximo común divisor de $a,b.$ Por lo tanto, podemos exigir $\gcd(a,b) = 1.

Si $ab$ es un cuadrado y son coprimos, ambos $a,b$ son cuadrados.

Estás pidiendo $a = m^2, b = n^2,$ y quieres $m^4 + n^4 = c^2.$ Esto no tiene soluciones no nulas, se remonta a Fermat. De hecho, esto es lo primero que prueban al enseñar el Último Teorema de Fermat, ya que muestra que $m^4 + n^4 = r^4$ es imposible en enteros no nulos.

Answer 2

Como se muestra en la respuesta de Will Jagy, el problema se reduce a demostrar que la ecuación $$A^4+B^4=C^2, \tag{1}$$ no tiene una solución entera positiva.

Sin embargo, el hecho de que $(1)$ no tenga soluciones enteras positivas NO puede derivarse del Último Teorema de Fermat. ¡Por el contrario, el hecho de que $(1)$ no tenga soluciones enteras positivas implica el Último Teorema de Fermat para $n=4$!

Aquí está por qué no hay solución para la ecuación diofántica $(1)$.

La prueba se basa en una descenso infinito, es decir, asumiendo que $C$ es el menor entero positivo para el cual existe una terna de enteros positivos que satisface $(1)$, construiremos otra terna con un $C$ más pequeño.

Claramente, $(A^2,B^2,C)$ es una Tripla Pitagórica (asumiendo sin pérdida de generalidad, $(A,B)=1$ y $B$ es par), entonces existen enteros coprimos $a,b$ tales que $$A^2=a^2-b^2,\quad B^2=2ab\quad\text{y}\quad C=a^2+b^2.$$ La primera ecuación se convierte en $A^2+b^2=a^2$, por lo que $(A,b,a)$ es otra Tripla Pitagórica, con $b$ par. Por lo tanto, existen enteros coprimos $c,d$ tales que $$A=c^2-d^2, \quad b=2cd\quad\text{y}\quad\text{y}\quad a=c^2+d^2.$$ Sustituyendo las expresiones para $b$ en $B^2=2ab$, tenemos $$B^2=4cd(c^2+d^2).$$ Ahora, dado que $c, d, c^2+d^2$ son claramente coprimos entre sí, todos son cuadrados perfectos. Por lo tanto, $$c=e^2, \quad d=f^2\quad \text{y}\quad c^2+d^2=g^2.$$ Combinando estas expresiones obtenemos que $$e^4+f^4=g^2,$$ con $g \le g^2 = a \le a^2 < C$.

Por lo tanto, suponiendo que $C$ está elegido de forma mínima, encontramos un valor más pequeño para $C$.

Por lo tanto, no hay solución.

Nota. La prueba más elemental del Último Teorema de Fermat para $n=3$ también se basa en un descenso infinito. Ver aquí.

Answer 3

$ab=cuadrado\iff a=a_1^2c_1 \text{ y } b=b_1^2c_2$ donde $c_1 \text{ y } c_2$ son libres de cuadrados y $c_1c_2$ es un cuadrado.

Este producto cuadrado supuesto, si $a^2+b^2=cuadrado$ entonces $a_1^4c_1^2+b_1^4c_2^2=cuadrado$. Por lo tanto, la ecuación $x^4+y^4=z^2$ podría tener una solución racional con $xyz\ne 0$. Esto es conocido por ser imposible (Fermat mismo lo ha probado).