Un producto infinito

Question

Estoy tratando de calcular el producto infinito

$$ \prod\limits_ {n=2}^ \infty \left (1+ \frac {1}{2^n-2} \right ) . $$

Wolfram Alpha dice que el resultado es $2$ pero no puedo entender por qué.

Answer 1

PISTA:

$$1+ \frac1 {2^n-2}= \frac {2^n-1}{2(2^{n-1}-1)}$$

Claramente, el denominador de cada término es cancelado por el numerador del anterior, excepto para el último término

$$ \implies\prod_ {n=2}^N \left (1+ \frac1 {2^n-2} \right )= \frac {2^N-1}{2^{N-1}}$$

Answer 2

Escriba

$$1 + \frac {1}{2^n - 2} = \frac {2^n - 1}{2^n - 2} = \frac {1}{2} \frac {2^n - 1}{2^{n-1} - 1}$$

así que por medio del telescopio,

$$ \prod_ {k = 2}^N \left (1 + \frac {1}{2^n - 2} \right ) = \frac {1}{2^{N-1}}(2^N - 1) = 2 - \frac {1}{2^{N-1}}.$$

Desde $ \frac {1}{2^{N-1}} \to 0$ como $N \to \infty $ Tenemos

$$ \prod_ {n = 2}^ \infty \left (1 + \frac {1}{2^n-2} \right ) = 2.$$