Necesito ayuda en un ejemplo de equicontinuidad

Question

En un intento de comprender mejor la definición de un equicontinuo familia de funciones continuas, quiero encontrar un simple no ejemplo.

Mi intuición dice que la familia $\{f_n\colon[0,1]\to\mathbb R\}_{n\in\mathbb N}$ dado por $f_n(x)=x^n$ no es equicontinuo, pero no sé cómo demostrarlo.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Afirmamos que el punto $x=1$ arruina la oportunidad de la familia en la equicontinuidad. Elegimos $\epsilon = \frac{1}{2}$ y que $\delta>0$ se le dará. Elija cualquier $y\in(1-\delta,1)$ que quieras. Dejar que $n\to \infty$ tenemos $y^n \to 0,$ por lo que podemos elegir un $n$ lo suficientemente grande como para que $y^n < \frac{1}{2}$ entonces tendríamos $$ |f_n(1)-f_n(y)| = |1-y^n| \geq \frac{1}{2}. $$

Por lo tanto, la familia no es equicontinua en $x=1$ .

Answer 2

Según la Wikipedia (enlace dado en el OP): "...el límite de una secuencia equicontinua convergente puntualmente de funciones continuas $f_n$ en un espacio métrico o en un espacio localmente compacto es continua. ..."

En su ejemplo, el límite puntual de $f_n$ no es continua. Es $0$ en todas partes excepto en $1$ (donde es $1$ ). Por lo tanto, podemos concluir que $f_n$ no son equicontinuos.

Answer 3

El problema está en $1$ . En efecto, supongamos que $\{f_n\}$ es equi-continuo en $1$ . Entonces podemos encontrar un $\delta>0$ de manera que si $|1-x|\leq \delta$ y $0\leq x\leq 1$ entonces para cada número entero $n$ , $|f_n(x)-f_n(1))|\leq 1/3$ Por lo tanto $|x^n-1|\leq 1/3$ y $x^n\geq 2/3$ . Si $1/{n^2}\leq \delta$ entonces deberíamos tener $\left(1-\frac 1{n^2}\right)^n\geq 2/3$ . Es imposible, ya que la RHS converge a $0$ .

En efecto, sabemos por el teorema de Arzela-Ascoli que una sucesión uniformemente acotada de funciones equicontinuas sobre un intervalo compacto admite una subsecuencia convergente para la norma uniforme (y este límite es continuo). Podemos comprobar que el límite puntual de $\{f_n\}$ no es continua.