Sea $ $G un grupo (no necesariamente finito). ¿Podemos decir algo acerca de su estructura Si suponemos que todos sus subgrupos apropiados son abelianos? ¿Hay una diferencia entre lo finito y lo infinito?
¿Para decirlo de otra manera, es la clase de estos grupos salvajes o lo podemos controlar? Naturalmente, grupos abelianos son parte de ella, pero estoy interesado en el caso de nonabelian.
Esta pregunta puede sonar muy sincero pero creo que sería interesante investigarlo.
El caso finito fue resuelto por Miller–Moreno (1903) y descrito de nuevo en Redei (1950). El caso infinito es sustancialmente diferente, debido a la existencia de Tarski monstruos. Sin embargo, el caso de la no-perfecto grupos es razonablemente similar a la de grupos finitos y se maneja en Belyaev–Sesekin (1975), junto con algunos más condiciones generales. Generalmente hablando, infinito grupos no son muy similares a los grupos finitos en este tipo de preguntas, pero si se limita a (casi) solucionable grupos, entonces las cosas están un poco mejor. Casi solucionable en este caso significa "no es perfecto" y para el cociente de las propiedades, a menudo significa "no trvial de Ajuste/Hirsch-Plotkin radical". En otras palabras, para el subgrupo propiedades desea un abelian cociente, y para el cociente de las propiedades que desea un (a nivel local nilpotent o) abelian subgrupo normal. Más actual de la investigación a lo largo de las líneas me gusta generalizar "abelian" en lugar de "finito"; de un marco razonable para esto se da en Beidleman–Heineken (2009).
Miller, G. A.; Moreno, H. C. No abelian grupos en los que cada subgrupo es abelian. Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 4 (1903), no. 4, 398-404. MR1500650 JFM34.0173.01 DOI:10.2307/1986409
Rédei, L. Die Anwendung des schiefen Produktes en der Gruppentheorie. J. Reine Angew. De matemáticas. 188, (1950). 201-227. MR48432 DOI:10.1515/crll.1950.188.201
Belyaev, V. V.; Sesekin, N. F. Infinito grupos de Miller-Moreno tipo. Acta De Matemáticas. Acad. Sci. Hungar. 26 (1975), no. 3-4, 369-376. MR404457 DOI:10.1007/BF01902346
Beidleman, J. C.; Heineken, H. Mínimo no-F-grupos. Ric. Mat. 58 (2009), no. 1, 33-41. MR2507791 DOI:10.1007/s11587-009-0044-2
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