$L=\lim_{x\to\infty}(f(x)+f'(x))$ existe . Cuál de las siguientes afirmaciones es\son correctas?

Question

Deje $f$ ser continuamente diferenciable de la función en $\mathbb R$. Supongamos que

$$L=\lim_{x\to\infty}(f(x)+f'(x))$$ exists. If $0<L<\infty$, entonces żcuál de las siguientes afirmaciones es\son correctas?

1. Si $\lim_{x\to\infty} f'(x)$ existe, entonces es $0$.

2. Si $\lim_{x\to\infty} f(x)$ existe, entonces es $L$.

3. Si $\lim_{x\to\infty} f'(x)$ existe,$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$.

4. Si $\lim_{x\to\infty} f(x)$ existe,$\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$.

Mi Conjetura

No pude concluir la respuesta y demostrar que correctamente. Pero, supongo que debe ser 1 y 2. me ayudan.

Answer 1

Sugerencia: Marque esta: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty}\frac{e^xf(x)}{e^x} \color{red}{=} \lim_{x \to +\infty}\frac{e^x(f(x)+f'(x))}{e^x} = \lim_{x \to +\infty}f(x)+f'(x) = L,$$ by $\color{red}{\text{L'Hospital de la regla}}$.

Answer 2

Sugerencia:

Si $\lim f'(x) = M$, $\lim f(x) = L-M$

El uso de la MVT: $f(x+1) - f(x) = f'(\xi)$$x < \xi < x+1$.

Answer 3

1. Si $\lim\limits_{x\to\infty}f'(x)$ existe, $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=L-\lim\limits_{x\to\infty}f'(x)$ también existe. Entonces $$ \begin{align} \lim\limits_{x\to\infty}f'(x) &=\lim\limits_{x\to\infty}(f(x+1)-f(x))\\ &=\lim\limits_{x\to\infty}f(x+1)-\lim\limits_{x\to\infty}f(x)\\ &=0\tag{1} \end{align} $$
2. Si $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$ existe, $(1)$ implica que el $\lim\limits_{x\to\infty}f'(x)=0$ y por lo tanto, $$ \begin{align} \lim\limits_{x\to\infty}f(x) &=L-\lim\limits_{x\to\infty}f'(x)\\ &=L\tag{2} \end{align} $$

3. Si $\lim\limits_{x\to\infty}f'(x)$ existe,$(1)$$(2)$$\lim\limits_{x\to\infty}f'(x)=0$$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=L$.

4. Si $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$ existe, $(1)$ implica que el $\lim\limits_{x\to\infty}f'(x)=0$.

Answer 4

Estás en lo correcto acerca de 1 y 2.

Tenga en cuenta también que 2 implica 4, ya que $$ \lim_{x \to \infty} f'(x) = L - \lim_{x \to \infty} f(x) $$ (suponiendo que el último límite existe).

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Tenga en cuenta que para funciones arbitrarias $g,h$: si $\lim_{x \to \infty} g(x)$ $\lim_{x \to \infty} h(x)$ ambos existen, entonces $$ \lim_{x \to \infty} [g(x) \pm h(x)] = \lim_{x \to \infty} g(x) \pm \lim_{x \to \infty} h(x) $$