La notación
Deje $\mathfrak g$ ser un álgebra de la Mentira algebraica de grupo $G\subseteq GL(V)$ durante un año(n algebraicamente cerrado) campo de $k$ (en realidad estoy pensando en $G=GL_n$, lo $\mathfrak g=\mathfrak{gl}_n$). Entonces cualquier elemento $X$ $\mathfrak g$ puede ser el único escrito como la suma de un semi-simple (diagonalizable) el elemento $X_s$ y un nilpotent elemento $X_n$ $\mathfrak g$ donde $X_s$ $X_n$ son polinomios en $X$. El nilpotent cono $\mathcal N$ es el subconjunto de nilpotent elementos de $\mathfrak g$ (elementos $X$ tal que $X=X_n$).
La gente habla a menudo de la nilpotent cono como tener la estructura de una subvariedad de $\mathfrak g$, considerado como un espacio afín, pero por lo general no dicen lo que el esquema de la estructura de la realidad. Para entender realmente un plan, me gustaría saber cuál es su functor de puntos. Es decir, yo no sólo quiero saber lo que es un nilpotent matriz es, quiero saber lo que es una familia de nilpotent matrices es (es decir, lo que es un mapa de una arbitraria esquema de $T$ $\mathcal N$es). Desde cualquier esquema está cubierto por afín a sistemas, es suficiente para entender lo que es un $A$valores de punto (un mapa,$\mathrm{Spec}(A)\to \mathcal N$) es para cualquier $k$-álgebra $A$. Así que mi pregunta es
Lo functor debe $\mathcal N$ representan?
Una conjetura
Bien, una $A$-punto de $\mathfrak g$ es "un elemento de $\mathfrak g$ con las entradas en $A$" (de nuevo, estoy pensando realmente $\mathfrak g=\mathfrak{gl}_n$, así que pensar en "una matriz con entradas en $A$"), así que yo esperaría que ese $A$-punto pasa a ser en la $\mathcal N$ exactamente cuando la matriz dada es nilpotent. Es decir, $\mathcal N(\mathrm{Spec}(A))=\{X\in \mathfrak{g}(\mathrm{Spec}(A))| X^N=0$ algunos $N\}$.
Sin embargo, esto es incorrecto. Que functor ni siquiera algebraica de espacio, incluso para el nilpotent cono de $\mathfrak{gl}_1$. Si lo fuera, el mapa de identidad en la que correspondería a un nilpotent función regular $f$ (un nilpotent $1\times 1$ de la matriz), y este sería el universal nilpotent función regular; todos los demás nilpotent función regular en cualquier otro lugar sería un retroceso de este. Pero cualquiera que sea el grado de nilpotence de esta función (es decir $f^{17}=0$), hay algunos nilpotent funciones regulares que no puede ser retirada de la misma (algo con nilpotence grado mayor de 17 años). Si esta versión de la nilpotent cono se representable, usted puede demostrar que el $\mathfrak{gl}_1$ versión sería demasiado.
Otro intento
Creo que la respuesta puede ser que un $A$ punto de $\mathcal N$ es una matriz de ($A$ punto de $\mathfrak g$), de modo que todos los coeficientes del polinomio característico se desvanecen. Este es un esquema que tiene el campo de la derecha con valores de puntos, pero ¿por qué debería ser nilpotent cono? ¿Cuál es el significado de que todos los coeficientes del polinomio característico se desvanecen para una matriz con entradas en $A$?
