¿Por qué es $\mathbb{H}\otimes\mathbb{H}\cong\text{End}_\mathbb{R}\mathbb{H}$?

Question

Cuando me enteré de que el álgebra de cuaterniones $\mathbb{H}$, la manera más concreta de obtener un control sobre el anillo de su endomorphisms $\operatorname{End}_\mathbb{R}(\mathbb{H})$ fue a verlos como $4\times 4$ matrices con entradas real.

Se me mencionó que $\operatorname{End}_\mathbb{R}(\mathbb{H})\cong\mathbb{H}\otimes_\mathbb{R}\mathbb{H}$ demasiado, pero este isomorfismo no es tan claro para mí que el isomorfismo con las matrices. Existe una clara justificación para este isomorfismo con el producto tensor?

Gracias,

Answer 1

Supongo que por $\text{End}_{\mathbb{R}}$ que significa endomorphisms como un $\mathbb{R}$-espacio vectorial. En ese caso, $\mathbb{H}$ actúa como endomorphisms de sí mismo (como $\mathbb{R}$-espacio vectorial) de dos maneras: a la izquierda de la multiplicación y a la derecha de la multiplicación. Es decir, tenemos una $\mathbb{R}$-bilineal mapa $$\mathbb{H} \times \mathbb{H} \ni (q_1, q_2) \mapsto (x \mapsto q_1 x q_2) \in \text{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{H}).$$

La segunda acción de $\mathbb{H}$ es un derecho de acción y no una acción izquierda, pero nos puede solucionar este problema mediante la conjugación de conseguir $$\mathbb{H} \times \mathbb{H} \ni (q_1, q_2) \mapsto (x \mapsto q_1 x \overline{q_2}) \in \text{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{H}).$$

Por la característica universal del producto tensor (de álgebras!) esto le da un álgebra de mapa $$\mathbb{H} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{H} \to \text{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{H})$$

y la pregunta es para mostrar que este mapa es un isomorfismo. Ya que ambos álgebras de tener dimensión $16$, es suficiente para mostrar que este mapa es surjective o inyectiva. Surjectivity de la siguiente manera desde el Jacobson densidad teorema, por ejemplo.

Answer 2

El álgebra isomorfismo envía $q_1 \otimes q_2$ para el endomorfismo de tomar p a $q_1q\bar q_2$. No estoy seguro de que la mejor manera de mostrar es inyectiva (o equivalenty surjective por dimensionalidad). Una forma es claramente informática el kernel usando el tensor de producto base de la norma 1,i,j,k base de H.