Bueno, yo no veo un patrón aquí
$$\{3,9,27,81,243,729,187,561,683,49,147,441,323,969,907,721,163,489,467,401,203,609,827,481,443,329,987\}$$
Created with Mathematica with the command
Table[If[k < 5, 3^k, FromDigits[IntegerDigits[3^k][[-3 ;; -1]]]], {k, 1, 27}]
In principle you calculate $3^k $ mod 1000, 3 y 1000 son coprimes, habrá un patrón, pero la longitud de un período podría ser algo hasta 1000, que realmente no ayuda.
Aquí la duración del período es de 100, por lo que los siguientes números son recurrentes
3,9,27,81,243,729,187,561,683,49,147,441,323,969,907,721,163,489,467,401,203,609,827,481,
443,329,987,961,883,649,947,841,523,569,707,121,363,89,267,801,403,209,627,881,643,929,787,
361,83,249,747,241,723,169,507,521,563,689,67,201,603,809,427,281,843,529,587,761,283,849,
547,641,923,769,307,921,763,289,867,601,803,409,227,681,43,129,387,161,483,449,347,41,123,
369,107,321,963,889,667,1,3