Patrón para los tres últimos dígitos del poder de $3$?

Question

Me pregunto si hay un patrón en los tres últimos dígitos de un poder de $3$? Necesito saber los tres últimos dígitos de $3^{27}$, sin una calculadora.

He tratado de encontrar un patrón, pero no puede ver? Me estoy perdiendo algo?

Gracias por su ayuda de antemano!

Answer 1

\begin{align} 3^{27}=3(3^{26})=3(9^{13})& =3(10-1)^{13} \\ & \equiv 3((-1)^{13}+13(-1)^{12}(10)+\binom{13}{2}(-1)^{11}(10^2)) \pmod{1000} \\ & \equiv 3(-1+130-7800) \pmod{1000} \\ & \equiv 987 \pmod{1000} \\ \end{align}

Edit: El mismo método (usando el teorema del binomio) puede aplicarse fácilmente a las $3^n$, incluso para grandes $n$.

\begin{align} 3^{2n}=9^n & =(10-1)^n \\ & \equiv (-1)^n+n(-1)^{n-1}(10)+\binom{n}{2}(-1)^{n-2}(10^2)) \pmod{1000} \\ & \equiv (-1)^n(1-10n+100\binom{n}{2}) \pmod{1000} \\ \end{align}

\begin{align} 3^{2n+1}=3(3^{2n}) \equiv 3(-1)^n(1-10n+100\binom{n}{2}) \pmod{1000} \\ \end{align}

Answer 2

Si usted puede multiplicar un número de 3 dígitos por $3$ sin una calculadora, a continuación, puede responder a la pregunta sin una calculadora. Acaba de empezar con $1$, se multiplica por $3$ $27$ veces, manteniendo sólo los últimos tres dígitos. $1,3,9,27,81,243,729,187$, y así sucesivamente.

Answer 3

Habrá un patrón para los tres últimos dígitos de una potencia de 3, en general. Sin embargo, ese patrón no necesariamente puede manifestarse dentro de los primeros 27 de términos.

Sin embargo, aquí hay algo que puedes hacer en vez de resolver tu problema: $$\begin{align} \text{ last 3 digits of } 3^{27} &= \text{ last 3 digits of } (3^3)^9\\ &= \text{ last 3 digits of } 27^9\\ &= \text{ last 3 digits of } (27^3)^3\\ &= \text{ last 3 digits of } 19683^3\\ &= \text{ last 3 digits of } 683^3\\ &= \text{ last 3 digits of } 318611987\\ &= 987 \end{align} $$

No es la solución más elegante, pero sí reducir el número (y dificultad) de las multiplicaciones necesarias para resolver el problema.

Answer 4

Exponenciación elevando al cuadrado se reduce el número de multiplicaciones de 26 a las 7:

Primer cuadrado repetidamente para crear competencias por parte de las potencias de 2:

$$ 3^1=3 \qquad 3^2=9 \qquad 3^4=81 \qquad 3^8 \equiv 561 \pmod{1000} \qquad 3^{16} \equiv 721 \pmod{1000} $$

Entonces, desde el $27=1+2+8+16$,

$$ 3^3=3^1 3^2 = 27 \qquad 3^{11} = 3^3 3^8 \equiv 147 \pmod{1000} \qquad 3^{27} = 3^{11} 3^{16} \equiv 987 \pmod{1000} $$

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Incluso podemos ser más inteligentes, como gt6989b señaló en un comentario, y el uso de $3^{27} = ((3^3)^3)^3$ y 6 multiplicaciones:

$$ 3^2 = 9 \qquad 3^3 = 27 $$ $$ (3^3)^2 = 729 \qquad 3^9 = (3^3)^3 \equiv 683 $$ $$ (3^9)^2 \equiv 489 \qquad 3^{27} = (3^9)^3 \equiv 987 $$

Pero en general la molestia de buscar estos trucos no es realmente vale la pena es sólo sobre el uso de un simple cuadrado.

Answer 5

Bueno, yo no veo un patrón aquí $$\{3,9,27,81,243,729,187,561,683,49,147,441,323,969,907,721,163,489,467,401,203,609,827,481,443,329,987\}$$

Created with Mathematica with the command

Table[If[k < 5, 3^k, FromDigits[IntegerDigits[3^k][[-3 ;; -1]]]], {k, 1, 27}]

In principle you calculate $3^k $ mod 1000, 3 y 1000 son coprimes, habrá un patrón, pero la longitud de un período podría ser algo hasta 1000, que realmente no ayuda.

Aquí la duración del período es de 100, por lo que los siguientes números son recurrentes

3,9,27,81,243,729,187,561,683,49,147,441,323,969,907,721,163,489,467,401,203,609,827,481,
443,329,987,961,883,649,947,841,523,569,707,121,363,89,267,801,403,209,627,881,643,929,787,
361,83,249,747,241,723,169,507,521,563,689,67,201,603,809,427,281,843,529,587,761,283,849,
547,641,923,769,307,921,763,289,867,601,803,409,227,681,43,129,387,161,483,449,347,41,123,
369,107,321,963,889,667,1,3