¿La característica de Euler de un colector dependen del campo de los coeficientes?

Question

Definir la característica de Euler de un espacio de $X$ $$\chi(X)= \sum_i \dim H_i(X, \mathbb Q)$$ This is obviously not necessarily well-defined for an arbitrary space $X$, so let $X$ ser un colector (colectores tiene sólo un número finito distinto de cero homología de grupos, y cada grupo de homología es finitely generado). Yo prefiero mantener esta pregunta totalmente en el ámbito cerrado de los colectores.

Hay una evidente reiteración de este para $\Bbb Q$ reemplazado por otro en el campo de $F$, así que vamos a $$\chi(M,F) = \sum_i \dim H_i(M, F)$$

Pregunta: ¿Cuándo $\chi(M)=\chi(M,F)$ para todos los campos de $F$? Esto es cierto para cada finito CW-complejo de $M$, pero es mi impresión de que no todo cerrado colector es de un número finito de CW-complejos, aunque no tengo un contra-ejemplo. Si este es el caso (de nuevo, para cerrar colectores), lo que es una referencia para este hecho? Si es falso, la cuestión gradas. ¿La característica de Euler dependen del campo? Yo estoy esperando una referencia o un contraejemplo.

Edit: La pregunta fue resuelto por debajo suave de los colectores a través de la teoría de Morse, pero como lo que puedo decir que este argumento general, no es extensible a la topológico caso (ver: de la teoría de Morse en la parte SUPERIOR y PL categorías?). Esperemos que no sabe completamente topológica de la respuesta.

Answer 1

Cada colector cerrado es homotopy equivalente a un número finito de CW-complejos. Para una prueba de ver Milnor del libro de la Teoría de Morse en la sección titulada "Homotopy Tipo" (pg. 12 en la antigua edición que yo tengo).

(La declaración de este es un comentario al final de la parte 1 de la sección 3)

Answer 2

Cada topológico compacto colector puede ser embebido en $\mathbb{R}^{n}$ y ya es localmente contráctiles se deduce que es un Euclidiana Barrio de Retractarse. Las pruebas son de primaria.

De ello se deduce que es un retractarse de un número finito de simplicial complejo y de manera integral, la homología de grupos finitely generado. Esto es suficiente para asegurar que la característica de Euler es independiente desde el campo de los coeficientes (por ejemplo por universal coeficiente teorema).

Para referencias, véase el Apéndice a de Hatcher "Topología Algebraica", en particular Corolario A. 8 y Corolario A. 9.