Dado que la secuencia $(a_n b_n)$ converge y $a_n \to 0$ ¿hay condiciones que se puedan poner a $(b_n)$ y/o $(a_n b_n)$ para que $(b_n)$ ¿también converge?
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Dejemos que $c = \lim_{n\to \infty} a_nb_n$ . Si $c\neq 0$ entonces $|b_n|$ no tiene límites y, por lo tanto, no converge. Por lo tanto, si $b_n$ converge entonces $c=0$ .
Ahora la secuencia $b_n$ no tiene que satisfacer ninguna restricción particularmente fuerte, simplemente debe crecer lo suficientemente lento. Para mí esto sugiere que es poco probable que encontremos condiciones suficientes útiles para la convergencia de $b_n$ .
Bueno, si estás dispuesto a dejar $\langle a_n \rangle$ convergiendo a $0$ Entonces se puede decir algo.
En general, si $\langle a_n \rangle$ converge a un número positivo $a$ y la secuencia $\langle b_n \rangle$ es finalmente no negativo, entonces: $\limsup_{n \to \infty}~a_n b_n=a.\limsup_{n \to \infty}~b_n$ . Y lo mismo para $\liminf$ . Por lo tanto, si $\langle a_nb_n \rangle$ converge, entonces también lo hará $\langle b_n \rangle$ .
