¿Suave curva Pac-Man?

Question

La curiosidad ociosa y una comprensión básica de el último ejemplo aquí me llevó a esta curva polar: $$r( \theta ) = \exp\left (10 \frac {|2 \theta |-1-||2 \theta |-1|}{|2 \theta |} \right ) \qquad\theta\in (- \pi , \pi ]$$ que Wolfram Alpha muestra que se ve así:

La curva no está definida en $ \theta =0$ pero podemos aumentar con $r(0)=0$ . Si lo hacemos, entonces a pesar de las apariencias, la curva es suave en $ \theta =0$ . También es liso en la parte trasera donde se encuentran dos arcos. Sin embargo, no se diferencia en las esquinas de la boca.

De nuevo por curiosidad, ¿puede alguien proponer una ecuación polar que produzca un Pac-Man suave en todas partes $(- \pi.\pi ]$ ? Sin definiciones a destajo por favor, pero el valor absoluto está bien.

Answer 1

Míralo en normal $(x,y)$ coordenadas: lo que estás buscando aquí es una aproximación suave a una onda cuadrada (eso es sólo $0$ durante 1/4 de un período). En ese sentido, este :

$$r= \frac1 {(e^{100( \theta -3 \pi /4)}+1)(e^{-100( \theta +3 \pi /4)}+1)}\ \ \ \theta\in [- \pi , \pi ]$$

Da una aproximación bastante buena. Aumentando el $100$ lo hará arbitrariamente bueno. Desafortunadamente no es suave en la esquina interna de la boca (aunque de nuevo esto se acerca más y más a medida que aumentas $100$ ). Esto podría remediarse multiplicando con una función que es esencialmente $1$ para casi todos los $[- \pi , \pi ]$ y se sumerge rápidamente hasta llegar a cero horizontalmente al final del intervalo. Tengo problemas para dar un ejemplo que no sea horroroso.

Answer 2

Bien, encontré algo, a través de una serie de composiciones:

Elija un gran $n$ (utilizado para enderezar aproximadamente las "líneas" de la boca), y un parámetro $c$ para el ancho de la boca ( $c=2$ funciona bien).

$$r( \theta )= \left (f(c \theta )+r(c \theta ) \right )^n$$ $$f(x)=1- \exp\left ( \frac {1}{q(x)^2-1} \right )$$ $$q(x)=p(x)- \frac12\left (g(x+1)+g(x-1) \right )$$ $$p(x)= \frac {|x+1|-|x-1|}{2}$$ $$g(x)= \frac {|x|}{x}$$ $$r(x)= \frac {e^{-1}}{2} \left (g(x-1)-g(x+1)+2 \right )$$

Todo junto, eso es $$r( \theta )= \left (1- \exp\left ( \frac {1}{ \left ( \frac {|c \theta +1|-|c \theta -1|}{2}- \frac12\left ( \frac {|c \theta +1|}{c \theta +1}+ \frac {|c \theta -1|}{c \theta -1} \right ) \right )^2-1} \right )+ \frac {e^{-1}}{2} \left ( \frac {|c \theta -1|}{c \theta -1}- \frac {|c \theta +1|}{c \theta +1}+2 \right ) \right )^n$$

Aquí hay una toma de GeoGebra de esto en acción. Hay discrepancias entre las fórmulas de la captura de pantalla y las de arriba, ya que intenté simplificar un poco las cosas de arriba. La función radial también está trazada usando coordenadas cartesianas. Estoy bastante seguro de que esto es muy suave, una vez que se tapan los dos agujeros de los labios.

Answer 3

No es muy bueno: $r( \theta ) = e^{- \dfrac {1}{20 \theta ^2}}$