Yo fui informática ejemplos de homologías de espacios cociente y pensé en lo siguiente. Alguien sabe cómo calcular los grupos de homología de $\mathbb R^2/\sim$, $\sim$ Dónde está la equivalencia $x \sim 2x$.
Gracias
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jasonjwwilliams
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A menos de que he cometido un error, creo que todos los grupos de homología son triviales. De hecho, creo que el espacio es contráctiles. Más en general, parece como si la prueba muestra que si $Y$ es cualquier espacio topológico y $Z = Y\cup\{p\}$ donde el único conjunto abierto en torno a $p$ $Z$ sí, a continuación, $Z$ es contráctiles.
Voy a utilizar $X$ para denotar el cociente.
Como Stefan H. dice en los comentarios, $X$ es homeomórficos a $T^2\cup\{p\}$ donde $T^2$ tiene la costumbre de topología y el único conjunto abierto que contiene a $p$ es todo el espacio. Voy a libremente identidad $X$$T^2\cup\{p\}$.
Considerar el mapa de $F:X\times I\rightarrow X$ con $$F(x,t) = \begin{cases} x & t < 1\\ p & t = 1\end{cases}$$ so $F$, if continuous, is a homotopy between the identity map (at time $0$) and the constant map (at time $1$).
Yo reclamo que $F$ es continua. Si $U\subseteq X$ contiene $p$, $U = X$ y claramente $F^{-1}(U) = X\times [0,1]$, por lo que está abierto. Por lo tanto, podemos suponer que $U$ no contiene $p$, lo $U$ es simplemente un conjunto abierto en $T^2$. Yo reclamo que $$F^{-1}(U) = U\times [0,1)$$ so is open in $X\times [0,1].$
La prueba de $\subseteq$: A ver que $F^{-1}(U)\subseteq U\times [0,1)$, elija cualquiera de los $(x,t)\in F^{-1}(U)$. Esto significa que $F(x,t)\in U\subseteq T^2$. Esto implica $t < 1$. Pero cuando $t < 1$, $F(x,t) = x$, debemos tener $x\in U$. Por lo tanto, $(x,t)\in U\times [0,1)$.
La prueba de $\supseteq$: A ver que $U\times [0,1)\subseteq F^{-1}(U)$, elija cualquiera de los $(x,t)\in U\times [0,1)$. Desde $t<1$, $F(x,t) = x\in U$, por lo $(x,t)\in F^{-1}(U)$.
